2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 7 正切函数 7.3 正切函数的诱导公式课件 北师

第一章三角函数§7正切函数7.3正切函数的诱导公式自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式π2±α，π±α.2．掌握正切函数的诱导公式.正切函数的诱导公式tan(2π＋α)＝______tan(－α)＝______tan(2π－α)＝______tan(π－α)＝______tan(π＋α)＝______tanα－tanα－tanα－tanαtanαtanπ2＋α＝______tanπ2－α＝______其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角．－cotαcotα练一练(1)tan154π＝________.(2)tan(－480°)＝________.解析：(1)tan154π＝tan3π＋34π＝tan34π＝tanπ－π4＝－tanπ4＝－1.(2)tan(－480°)＝tan(720°－480°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3.答案：(1)－1(2)31．与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题？答：求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件．求值域时，不要忽视这个函数的定义域．2．利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的？答：典例精析规律总结课堂互动探究1给角求值类型求下列各式的值：(1)tan－26π3；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．【解】(1)tan－26π3＝－tan26π3＝－tan8π＋2π3＝－tan2π3＝tanπ3＝3.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin1866°－sin(－606°)＝tan10°－tan10°＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝sin66°－sin66°＝0.【方法总结】利用诱导公式求值一般为：把负角三角函数化为正角三角函数，再化为0～2π间三角函数，最后转化为锐角三角函数求值．求下列三角函数值：(1)tan(－150°)；(2)tan196π.解：(1)tan(－150°)＝－tan150°＝－tan(180°－30°)＝tan30°＝33.(2)tan19π6＝tan3π＋π6＝tanπ6＝33.2化简三角函数式类型化简并求值．sin2π－αtanπ＋αtanπ2＋αtan－αtanπ2－αcosπ－α·tan3π－α，其中角α的终边与单位圆交于点32，－12.【解】原式＝－sinα·tanα·－cotα·－tanαcotα·－cosα·－tanα＝－sinα·tanαcosα＝－tan2α.∵角α的终边与单位圆交于点32，－12，∴sinα＝－12，cosα＝32，tanα＝－33，∴原式＝－13.【方法总结】能熟练利用诱导公式对三角函数关系式进行化简，化简的结果要力求简单，分母中一般不含三角函数，能求值的要求值．(1)化简：sinπ＋α·cosπ－α·tan－3π2－αtanπ2＋α·cos3π2＋α；(2)求值：tan7π4－tan2π31＋tan－4π3·tan－π4.解：(1)原式＝－sinα·－cosα·tanπ2－α－cotα·sinα＝sinαcosα·cotα－cotα·sinα＝－cosα.(2)原式＝tan2π－π4－tanπ－π31＋tanπ＋π3tanπ4＝－tanπ4＋tanπ31＋tanπ3＝3－13＋1＝2－3.已知tanπ6－α＝33，求tan5π6＋α的值．解：tan5π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.3给值求值类型已知sin(α＋β)＝1，求证tan(2α＋β)＋tanβ＝0.【证明】∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴α＝2kπ＋π2－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝tan22kπ＋π2－β＋β＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．【方法总结】在运用诱导公式时，要注意角的合理拆分，解答三角函数问题的时候，除了掌握固定角的三角函数值外，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数形式以达到解决问题的目的．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.证明：左边＝tan－α·sin－α·cos－αsin2π－π2－α·cos2π－π2－α＝－tanα·－sinα·cosαsin－π2－αcos－π2－α＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α＝sin2α－cosα·sinα＝－sinαcosα＝－tanα＝右边．所以原等式成立．比较tan－13π7与tan－17π5的大小．【错解】∵y＝tanx为增函数，－13π7－17π5，∴tan－13π7tan－17π5.【错因分析】y＝tanx在定义域内不是单调函数，在kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z内单调递增．错解中未把－13π7与－17π5转化到同一单调区间．【正解】tan－13π7＝tan－2π＋π7＝tanπ7，tan－17π5＝tan－3π－2π5＝tan－2π5.又－π2－2π5π7π2，且y＝tanx在－π2，π2上是增加的，所以tanπ7tan－2π5.即tan－13π7tan－17π5.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一诱导公式的应用1．tan300°＋sin450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析：tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan60°＋sin90°＝1－3.答案：B2．化简tan(－α)＋tan(3π＋α)＝()A．0B．－2tanαC．tanαD．2tanα解析：原式＝－tanα＋tanα＝0.答案：A知识点二给值求值3．已知tanπ4＋α＝32，则tan3π4－α的值为()A．12B．－12C．32D．－32解析：tan3π4－α＝tanπ－π4＋α＝tan－π4＋α＝－tanπ4＋α＝－32.答案：D知识点三化简求值4．sin480°＋tan300°的值为________．解析：sin480°＋tan300°＝sin(360°＋120°)＋tan(360°－60°)＝sin120°＋tan(－60°)＝sin(180°－60°)－tan60°＝sin60°－tan60°＝32－3＝－32.答案：－325．化简：sinπ－αcos2π－αtan－α＋3π21tan－α－πsin－π－α.解：原式＝sinαcosαtan－α＋π21tan－α·[－sinπ＋α]＝sinαcosα·1tanα－1tanα·sinα＝－cosα.