2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质 6.1 余弦函数的图像

第一章三角函数§6余弦函数的图像与性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握五点法作余弦函数的图像．2．掌握余弦函数的图像与性质．3．了解正弦函数、余弦函数图像之间的关系.1．(1)余弦函数的图像：(2)画法：将正弦曲线y＝sinx向左平移π2个单位长度得到，也可以利用描点法作出余弦函数的图像．(3)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线．2．余弦函数的性质函数y＝cosx定义域R值域______________最值当________________时，ymax＝1；当__________________时，ymin＝－1周期性周期函数，最小正周期是____奇偶性____函数，图像关于______对称单调性在_____________________上是增加的；在_____________________上是减少的x＝2kπ(k∈Z)x＝(2k＋1)π(k∈Z)2π偶y轴[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)[－1,1]练一练(1)函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域是()A．[－2,6]B．[－3,6]C．[－2,4]D．[－3,8]解析：y＝4(cos2x＋cosx)－2＝4cosx＋122－3，∴当cosx＝－12时，ymin＝－3，当cosx＝1时，ymax＝6，∴值域为[－3,6]．答案：B3．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为kπ＋π2，0(k∈Z)；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．练一练(2)函数y＝1＋cosx的图像()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝π2对称答案：B1．怎样作余弦函数的图像？答：余弦曲线可用五点法作出一个周期图像后再扩展，也可以利用图像变换作出图像．2．余弦函数的定义域、值域、周期分别是什么？答：余弦函数同正弦函数一样，最小正周期都为2π，定义域都为R，值域均为[－1,1]．3．利用余弦函数比较大小应注意什么？答：利用余弦函数的单调性比较函数值的大小时，需将所比较的两个角转化到余弦函数的同一个单调区间．典例精析规律总结课堂互动探究1余弦函数的图像类型画出函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图．【解】解法一：按五个关键点列表：x0π2π3π22πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．解法二：作函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，然后将其作关于x轴对称的图像即得y＝－cosx，x∈[0,2π]的图像．【方法总结】所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替．五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来．函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．作函数y＝12cosx－1，x∈[0,2π]的简图．解：按五个关键点列表：x0π2π3π22πcosx10－10112cosx120－1201212cosx－1－12－1－32－1－12在坐标系内，根据五点0，－12、π2，－1、π，－32、3π2，－1、2π，－12画图，如图所示．2余弦函数的定义域、值域类型(1)已知函数y＝lg(2cosx＋1)，求它的定义域和值域；(2)求函数y＝cosx－122－3的值域．【解】(1)2cosx＋10，即cosx－12.∴定义域为x2kπ－2π3x2kπ＋2π3，k∈Z.令y＝lgt，t＝2cosx＋1，则0t≤3.∴y≤lg3，即值域为(－∞，lg3]．(2)设t＝cosx，则－1≤t≤1.原函数可转化为y＝t－122－3.∴当t＝12时，ymin＝－3；当t＝－1时，ymax＝－34.∴值域为－3，－34.【方法总结】求余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用．求值域、最值问题方法很多，如利用余弦函数的有界性、换元法、配方等．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6ω0，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：因为f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，所以fπ4取最大值，所以π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋23(k∈Z)，因为ω0，所以当k＝0时，ω取最小值23.答案：233余弦函数的单调性类型(1)求函数y＝1－12cosx的单调区间；(2)比较cos－π7与cos18π7的大小．【解】(1)∵－12＜0，∴y＝1－12cosx的单调性与y＝cosx的单调性相反．∵y＝cosx的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴y＝1－12cosx的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(2)cos18π7＝cos2π＋4π7＝cos4π7.cos－π7＝cosπ7.又∵0＜π7＜4π7＜π，且函数y＝cosx在[0，π]上是减少的，∴cosπ7＞cos4π7，即cos18π7＜cos－π7.【方法总结】确定三角函数的单调性，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想和复合函数单调性的原理．比较大小时，一般先利用诱导公式转化为同名函数的同一单调区间比较．求函数y＝lgcosx的单调增区间．解：∵函数y＝lgcosx是由函数u＝cosx及y＝lgu复合而成的，∵y＝lgu在u＞0上是增函数．∴函数u＝cosx的单调增区间即为原函数的增区间，又∵u＝cosx＞0，∴u(x)的增区间为2kπ－π2，2kπ(k∈Z)，即函数y＝lgcosx的单调增区间为2kπ－π2，2kπ(k∈Z)．求函数y＝－cos2x＋3cosx的最大值．【错解】∵y＝－cos2x＋3cosx＝－cosx－322＋94，∴ymax＝94.【错因分析】错解中忽略了余弦函数的值域，即cosx≠32.【正解】设t＝cosx，t∈[－1,1]．∴原函数转化为y＝－t2＋3t＝－t－322＋94，t∈[－1,1]．∴当t＝1时，函数取得最大值2.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一余弦函数的图像1．函数y＝1－cosx(x∈R)是()A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数答案：C2．方程x2－cosx＝0的实数解的个数是()A．仅有一个解B．仅有两个解C．无解D．有无数多解解析：作出函数y＝cosx与y＝x2的图像，如图所示．由图像知，原方程有两个实数解．答案：B知识点二余弦函数的性质3．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析：f(x)＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx，由f(x)＝cosx的性质可判断A、B、C均正确．答案：D4．函数y＝2－cosx的单调递减区间是()A．[kπ＋π，kπ＋2π](k∈Z)B．[2kπ－π，2kπ](k∈Z)C．[2kπ，2kπ＋π2](k∈Z)D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)解析：y＝2－cosx＝12cosx定义域是R，设y＝12u，u＝cosx，由于y＝12u是递减的．所以y＝2－cosx的单调递减区间就是u＝cosx的单调递增区间．答案：B知识点三余弦函数的定义域与值域5．求函数f(x)＝2cosx－1的定义域，值域．解：由2cosx－1≥0，得cosx≥12，借助y＝cosx的图像知，2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.∴定义域为x|2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.又∵12≤cosx≤1，∴0≤2cosx－1≤1.∴y＝2cosx－1的最小值为0，最大值为1，即值域为[0,1]．