2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 5 正弦函数的图像与性质 5.2 正弦函数的性质课

第一章三角函数§5正弦函数的图像与性质5.2正弦函数的性质自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解正弦函数y＝sinx，x∈R的性质．2．掌握正弦函数性质的应用.1．正弦函数的性质函数y＝sinx定义域____值域______________周期性最小正周期为2π最值当x＝____________，k∈Z时，ymax＝1当x＝____________，k∈Z时，ymin＝－1R[－1,1]π2＋2kπ32π＋2kπ函数y＝sinx单调性在每一个闭区间__________________上都是增加的，在每一个闭区间__________________上都是减少的，k∈Z奇偶性奇函数2kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋3π2练一练(1)函数y＝sinx在区间－π6，56π上的值域为()A．－12，12B．－12，32C．[－1,1]D．－12，1答案：D2．正弦函数y＝sinx的图像关于点_________________中心对称，关于直线________________________轴对称．(kπ，0)，k∈Zx＝π2＋kπ，k∈Z练一练(2)函数y＝sin2x的对称中心为(其中k∈Z)()A．(kπ，0)B．kπ2，0C．(0，kπ)D．0，kπ2解析：2x＝kπ，∴x＝kπ2，k∈Z，∴y＝sin2x的对称中心为kπ2，0，k∈Z.答案：B怎样理解正弦函数的单调性及单调区间？答：(1)正弦函数在定义域上不单调，因此说“正弦函数在第一象限是增函数”是错误的．(2)单调性是针对某一个区间而言的，离开了区间去谈单调性毫无意义．(3)单调区间是定义域内的区间，在求函数的单调区间时一定要先确定定义域．(4)正弦函数y＝sinx(x∈R)的增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)的含义是指在k取每一个整数时，正弦函数在该区间上为增函数，而不是k取每一个整数时，正弦函数在这些并集区间上为增函数．典例精析规律总结课堂互动探究1正弦函数定义域、值域问题类型(1)求函数y＝2sinx－1的定义域；(2)求函数y＝1＋2sinx，x∈－π6，π6的最大值和最小值．【解】(1)由2sinx－1≥0，即sinx≥12.作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像知2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z.∴定义域为x2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z.(2)∵－π6≤x≤π6，∴－12≤sinx≤12.∴0≤1＋2sinx≤2.即y＝1＋2sinx，x∈－π6，π6的最大值为2，最小值为0.【方法总结】1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应的解的集合，注意灵活选择一个周期的图像．2．求值域时，①利用sinx的有界性求值域；②利用y＝sinx的单调性求值域．(1)求函数y＝lg(2sinx－1)的定义域；(2)已知函数f(x)＝asinx＋b的最大值为2，最小值为0，求a，b的值．解：(1)要使函数y＝lg(2sinx－1)有意义，则2sinx－1＞0，即sinx＞12.∴π6＋2kπ＜x＜56π＋2kπ，k∈Z.即函数y＝lg(2sinx－1)的定义域为xπ6＋2kπ＜x＜56π＋2kπ，k∈Z(2)若a＝0，则f(x)＝b为常函数，与f(x)的最大值为2，最小值为0矛盾，故a≠0.(ⅰ)a＞0时，sinx＝1时，f(x)max＝a＋b＝2，①sinx＝－1时，f(x)min＝－a＋b＝0，②∴由①②得，a＝b＝1.(ⅱ)a＜0时，sinx＝1时，f(x)min＝a＋b＝0，③sinx＝－1时，f(x)max＝－a＋b＝2，④∴由③④得，a＝－1，b＝1.综上所述，a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1.2正弦函数的单调性类型求函数y＝－sinx＋3的单调区间．【解】∵y＝－sinx＋3与y＝sinx的增减性相反．而y＝sinx的增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2，(k∈Z)．∴函数y＝－sinx＋3的单调增区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)，单调减区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．【方法总结】求正弦函数的单调区间有两种方法：一是利用y＝sinx的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来．单调性的应用比较广泛：比较大小、解不等式、求值域等．求函数y＝log2sinx的单调减区间．解：由sinx＞0得：2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，∵2＞1，∴y＝log2sinx的单调减区间即为u＝sinx＞0的减区间，∴2kπ＋π2≤x＜2kπ＋π，k∈Z，∴y＝log2sinx的单调减区间为2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z.3正弦函数的周期性、奇偶性类型(1)函数y＝|sinx|的最小正周期是()A．2πB．πC．π2D．π4【解析】作出y＝|sinx|的图像，如图．由图像可得最小正周期为π.【答案】B(2)判断函数y＝sinx－1的奇偶性．【解】定义域为R.f(－x)＝sin(－x)－1＝－sinx－1，∴f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，∴f(x)为非奇非偶函数．【方法总结】求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．判断奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系：若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数．判断函数f(x)＝sinxx的奇偶性．解：∵定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f(－x)＝sin－x－x＝－sinx－x＝sinxx＝f(x)，∴f(x)＝sinxx为偶函数．已知函数f(x)＝ln(1＋sin2x－sinx)，x∈R，试判断函数f(x)的奇偶性．【错解】函数的定义域为R.f(－x)＝ln[1＋sin2－x－sin(－x)]＝ln(1＋sin2x＋sinx)，∵f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)．∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．【错因分析】错解中对f(－x)未进行深入变形整理，只是简单比较即作出了结论．【正解】函数的定义域为R.f(－x)＝ln[1＋sin2－x－sin(－x)]＝ln(1＋sin2x＋sinx)＝ln11＋sin2x－sinx＝－ln(1＋sin2x－sinx)＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一函数的奇偶性1．函数y＝sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析：显然y＝sin2x为奇函数，又周期T＝2π2＝π.答案：A2．若函数f(x)＝sin2x＋a－1是奇函数，则a的值为()A．0B．1C．－1D．±1解析：由f(－x)＝－f(x)得sin(－2x)＋a－1＝－sin2x－a＋1，∴a＝1.答案：B知识点二函数的单调性3．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋x2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析：∵周期为π，∴排除选项C，D．又y＝cos2x＋π2＝－sin2x，它在π4，π2上是增函数，∴排除选项B，故选A．答案：A4．已知函数f(x)＝cos2x＋3π2(x∈R)，给出下列命题，其中错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是奇函数C．函数f(x)的图像关于直线x＝3π4对称D．函数f(x)在0，π2上是增函数解析：f(x)＝cos2x＋3π2＝sin2x，则函数f(x)的最小正周期为π，是奇函数，故A、B正确；∵f3π4＝sin3π2＝－1，∴函数f(x)的图像关于直线x＝3π4对称，故C正确；f(x)在0，π4上是增函数，在π4，π2上是减函数，故D错误．答案：D知识点三函数的值域5．求函数的值域：y＝log121－12sinx，x∈0，π2.解：∵0≤xπ2，∴0≤sinx1，∴121－12sinx≤1，又∵函数y＝log12x在(0，＋∞)上是减函数，∴log1212y≥log121即0≤y1，∴此函数的值域为{y|0≤y1}．