2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4.3 单

第一章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质(如定义域、值域、最值、周期性、单调性)．2．掌握诱导公式，并能利用诱导公式进行求值和化简．3．掌握利用单位圆解简单的三角不等式.1．正弦函数、余弦函数的定义域是R.2．当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最大值____；当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最小值______.当______________时，余弦函数y＝cosx取得最大值____；当___________________时，余弦函数y＝cosx取得最小值______.x＝2kπ＋π2(k∈Z)x＝2kπ－π2(k∈Z)x＝2kπ(k∈Z)x＝(2k＋1)π(k∈Z)1－11－13．正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx是周期函数，它们的周期都是______________，最小正周期为_____.4．正弦函数在区间________________________上是增函数，在区间____________________________上是减函数．2kπ(k∈Z)2π2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)5．函数名不变的诱导公式(1)sin(2kπ＋α)＝_______，cos(2kπ＋α)＝_______(k∈Z)．(2)sin(π＋α)＝_______，cos(π＋α)＝_______.(3)sin(－α)＝_______，cos(－α)＝_______.(4)sin(2π－α)＝_______，cos(2π－α)＝_______.(5)sin(π－α)＝_______，cos(π－α)＝_______.sinαcosα－sinα－cosα－sinαcosα－sinαcosαsinα－cosα练一练(1)sin－π3＋2sin4π3＋3sin2π3＝()A．1B．12C．0D．－1解析：原式＝－sinπ3＋2sin(π＋π3)＋3sinπ－π3＝－sinπ3－2sinπ3＋3sinπ3＝0.答案：C6．函数名改变的诱导公式(1)sinπ2＋α＝________，cosπ2＋α＝________.(2)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.cosα－sinαcosαsinα练一练(2)如果sin(π＋A)＝－12，那么cos3π2－A＝()A．－12B．12C．－32D．32解析：∵sin(π＋A)＝－sinA＝－12，∴sinA＝12，∴cos32π－A＝cosπ＋π2－A＝－cosπ2－A＝－sinA＝－12.答案：A1．如何巧记诱导公式？答：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”.π2＋α，π2－α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其基本步骤是什么？答：典例精析规律总结课堂互动探究1利用诱导公式求值类型求下列三角函数式的值：(1)sin495°·cos(－675°)；(2)sin－10π3＋cos29π6.【解】(1)sin495°·cos(－675°)＝sin(135°＋360°)·cos675°＝sin135°·cos315°＝sin(180°－45°)·cos(360°－45°)＝sin45°·cos45°＝22×22＝12.(2)sin－10π3＋cos29π6＝－sin10π3＋cos4π＋5π6＝－sin2π＋4π3＋cos5π6＝－sin4π3＋cosπ－π6＝－sinπ＋π3－cosπ6＝sinπ3－cosπ6＝32－32＝0.【方法总结】给角求值问题一般原则是“负化正，大化小，诱导公式变锐角”．即负角→正角→0到2π的角→锐角→求值．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos3π2－α＋2sin(6π－α)的值为()A．－2m3B．－3m2C．2m3D．3m2解析：∵sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－sinα－sinα＝－m，∴sinα＝m2，∴cos32π－α＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－32m.答案：B2巧用角的关系求值类型已知cosπ6－α＝m，|m|≤1，求cos5π6＋α，sin2π3－α的值．【解】cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－m，sin2π3－α＝sinπ2＋π6－α＝cosπ6－α＝m.【方法总结】解决条件求值问题常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角的互余、互补关系．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．已知，cosx＋π12＝－35，求：sin512π－x的值．解：∵512π－x＋x＋π12＝π2，∴sin512π－x＝sinπ2－x＋π12＝cosx＋π12＝－35.3化简三角函数式类型化简下列各式：(1)sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcosπ2＋αsinπ＋α；(2)sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k为整数)．【解】(1)原式＝cosα·sinα－cosα＋sinα·－sinα－sinα＝(－sinα)＋sinα＝0.(2)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得，原式＝－1.【方法总结】所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，k2π±α时，要注意讨论k为奇数或偶数．已知cosπ3＋α＝13，求cos3k＋13·π＋α＋cos3k－13·π－α(k∈Z)的值．解：当k＝2n，n∈Z时，原式＝coskπ＋π3＋α＋coskπ－π3－α＝cos2nπ＋π3＋α＋cos2nπ－π3－α＝cosπ3＋α＋cos－π3－α＝cosπ3＋α＋cosπ3＋α.＝2cosπ3＋α＝23.当k＝2n＋1，n∈Z时，原式＝cos2n＋1π＋π3＋α＋cos2n＋1π－π3－α＝cosπ＋π3＋α＋cosπ－π3－α＝－cosπ3＋α－cosπ3＋α＝－2cosπ3＋α＝－23.化简：cos4n＋14π＋x＋cos4n－14π－x(n∈Z)．【错解】原式＝cosnπ＋π4＋x＋cosnπ－π4－x＝cosπ4＋x＋cos－π4＋x＝cosπ4＋x＋cosπ4＋x＝2cosπ4＋x.【错因分析】当n取不同值时，对公式的运用会产生影响，错解中未讨论n的取值情况．【正解】原式＝cosnπ＋π4＋x＋cosnπ－π4－x.(1)当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos2k＋1π＋π4＋x＋cos2k＋1π－π4－x＝－cosπ4＋x－cosπ4＋x＝－2cosπ4＋x；(2)当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos2kπ＋π4＋x＋cos2kπ－π4－x＝cosπ4＋x＋cos－π4－x＝2cosπ4＋x.故原式＝－2cosπ4＋x，n为奇数，2cosπ4＋x，n为偶数.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一利用诱导公式求值1．cos570°＝()A．－12B．12C．－32D．32解析：cos570°＝cos(210°＋360°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32.答案：C2．cos(－225°)＋sin(－225°)等于()A．22B．－22C．0D．2解析：原式＝cos225°－sin225°＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°＝0.答案：C知识点二利用角的关系求值3．若sinπ6＋α＝35，则cosπ3－α＝()A．－35B．35C．45D．－45解析：∵π6＋α＋π3－α＝π2.∴π3－α＝π2－π6＋α.又sinπ6＋α＝35，∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α＝sinπ6＋α＝35.答案：B4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝()A．3－cos2xB．3－sin2xC．3＋cos2xD．3＋sin2x解析：∵cosx＝sinπ2－x，f(sinx)＝3－cos2x，∴f(cosx)＝fsinπ2－x＝3－cos2π2－x＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.答案：C知识点三化简与求值5．化简求值：3sin－20π3sin19π6－cos13π4sin－37π4.解：原式＝3sin－8π＋4π3sin3π＋π6－cos3π＋π4sin－10π＋3π4＝3sinπ＋π3sinπ＋π6－cosπ＋π4·sinπ－π4＝3sinπ3sinπ6＋cosπ4sinπ4＝3×32×12＋22×22＝34＋24＝54.