2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象课件 新

1．5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第一章三角函数课前自主预习1.参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响2．由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的途径由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“______________”与“_________________”．(1)先平移后伸缩□7先平移后伸缩□8先伸缩后平移(2)先伸缩后平移3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的______________就是______________(2)简谐运动的周期T＝______________.□12振幅□13A．□142πω(3)简谐运动的频率f＝1T＝______________.(4)______________称为相位．(5)__________________称为初相．4．正弦函数图象的三种变换(1)_____________________________________称为相位变换．(2)_________________________________称为周期变换．(3)_______________________________称为振幅变换．□15ω2π□16ωx＋φ□17x＝0时的相位φ□18由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)图象的变换□19由y＝sinx到y＝sinωx图象的变换□20由y＝sinx到y＝Asinx图象的变换1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6.()(2)函数y＝2sin3x－π4，x∈R的最大值为2.()√×(3)函数y＝2sin2x－π4，x∈R的一个对称中心为π8，0.()(4)用五点法作函数y＝2sinx2＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为π3，0.()√×2．做一做(1)(教材改编P57T1(1))将函数y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为()A．y＝sinx－π3B．y＝sinx＋π3C．y＝sinx－π3D．y＝sinx＋π3解析将函数y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y＝sinx＋π3.故选D．(2)要得到函数y＝sin3x－π6的图象，只要将函数y＝sin3x的图象()A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移π18个单位长度D．向右平移π18个单位长度解析因为y＝sin3x－π6＝sin3x－π18，所以将函数y＝sin3x的图象向右平移π18个单位长度，就可得到函数y＝sin3x－π18＝sin3x－π6的图象．(3)将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)得到________的图象．y＝sin4x解析将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14得到y＝sin4x的图象．课堂互动探究探究1作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1已知函数y＝2sin2x－π3，用“五点法”画出其简图．解列表：2x－π30π2π3π22πxπ65π122π311π127π6y＝2sin2x－π3020－20描点，连线得函数y＝2sin2x－π3在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈N＋)个单位长度，就可得函数y＝2sin2x－π3(x∈R)的图象.拓展提升用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤第一步：列表．ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy0A0－A0第二步：在同一直角坐标系中描出各点．第三步：用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．【跟踪训练1】作出函数y＝12cos12x＋π3在一个周期内的图象．解列表：12x＋π30π2π3π22πx－2π3π34π37π310π3y120－12012描点，连线得函数y＝12cos12x＋π3在一个周期内的图象，如图．探究2函数的图象变换例2说明y＝－2sin2x－π6＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．解解法一(先伸缩后平移)：[条件探究]将例2改为：y＝2sin12x－π6＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？解解法一(先伸缩后平移)：拓展提升三角函数图象变换的两种方法及两个注意(1)两种方法：方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．(2)两个注意：①两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和φω，但平移方向是一致的．②虽然两种平移的单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．【跟踪训练2】函数y＝sin5x－π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________________．y＝sin10x－7π4解析将原函数的图象向右平移π4个单位长度，得到y＝sin5x－π4－π2＝sin5x－7π4的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝sin10x－7π4的图象．探究3求三角函数的解析式例3如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，求此函数的解析式．解解法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点－π6，0在函数的图象上，∴0＝3sin－π6×2＋φ，∴－π6×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝π3＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴y＝3sin2x＋π3.解法二(待定系数法)：由图象知A＝3.∵图象过点π3，0和5π6，0，∴πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3.∴y＝3sin2x＋π3.解法三(图象变换法)：由A＝3，T＝π，点－π6，0在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移π6个单位长度而得，所以y＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.拓展提升求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝2πω，确定ω.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.【跟踪训练3】下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A．f(x)＝3sinx＋π3B．f(x)＝3sinx－π3C．f(x)＝3sin12x＋π6D．f(x)＝3sin12x－π6解析解法一(代值验证法)：把－π3，0代入选项，可排除B，D；再将2π3，3代入，可排除A．故C正确．解法二(逐一定参法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)．由图知，振幅A＝3，又T＝42π3－－π3＝4π，∴ω＝2πT＝12.由点－π3，0，令－π3×12＋φ＝0，得φ＝π6.∴f(x)＝3sin12x＋π6，选C．解法三(待定系数法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，由图知，A＝3.又图象过－π3，0，2π3，3，根据五点法原理(这两点可理解为“五点法”中的第一点和第二点)，有：－π3·ω＋φ＝0，2π3·ω＋φ＝π2，解得，ω＝12，φ＝π6.故选C．探究4函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用例4已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，即sinφ＝±1，解得φ＝kπ＋π2，k∈Z.又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f(x)的图象关于点M3π4，0对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k－23，k∈Z.又f(x)在0，π2上是单调函数，∴T≥π，即2πω≥π，∴0＜ω≤2，∴当k＝1时，ω＝23；当k＝2时，ω＝2.综上，φ＝π2，ω＝23或2.拓展提升函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用与正弦函数y＝sinx比较可知，当ωx＋φ＝2kπ±π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出，其对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为kπ－φω，0(k∈Z)．同理y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出．【跟踪训练4】已知函数f(x)＝2sinωx＋φ－π6＋1(0φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ＋2π3(k∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f(x)＝2sinωx＋π2＋1＝2cosωx＋1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，∴fπ8＝2cos2×π8＋1＝2＋1.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数fx－π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到fx4－π6的图象，所以g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＋1＝2cosx2－π3＋1.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减．所