2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.3 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（第

第1章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学习目标核心素养(教师独具)1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ对图象的影响．(重点)2．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)通过本节学习来提升学生的直观想象和数学运算核心素养.自主预习探新知一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开位置的，称为振动的振幅；往复振动一次所需的T＝2πω称为这个振动的；单位时间内往复振动的f＝1T＝ω2π称为振动的；ωt＋φ称为，t＝时的相位φ称为．平衡最大距离时间周期次数频率相位0初相二、图象变换1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：y＝sinx图象――――――――――――→向φ＞0或向φ＜0平移个单位长度y＝sin(x＋φ)图象．2．A对函数y＝Asinx图象的影响(振幅变换)：y＝sinx图象各点坐标变为原来的倍(坐标不变)得到y＝Asinx图象．左右|φ|纵A横3．ω对函数y＝sinωx的图象的影响(周期变换)：y＝sinx图象各点坐标变为原来的__倍(坐标不变)得到y＝sinωx图象．横1ω纵思考：先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗？[提示]不相同．平移的单位长度不同．1．思考辨析(1)将y＝sinx的图象向右平移π4个单位，得到y＝sinx＋π4的图象．()(2)将y＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到y＝sin12x的图象．()(3)将y＝sinx图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sinx的图象．()[解析](1)×.y＝sinx――――→向右平移π4个单位y＝sinx－π4.(2)×.y＝sinx―――――→横坐标变为原来的12y＝sin2x.(3)√.y＝sinx――――――――→纵坐标变为原来的2倍y＝2sinx.[答案](1)×(2)×(3)√2．简谐运动y＝14sinπ3x－π12的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．14616－π12[由简谐运动的相关概念可知，A＝14，T＝2ππ3＝6，f＝1T＝16，初相φ＝－π12.]合作探究提素养【例1】作出函数y＝2sinx－π3＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．思路点拨：用“五点法”作图―→求周期、频率、相位、初相、最值―→求单调区间作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象[解]“五点法”作图．(1)列表如下：xπ356π43π116π73πx－π30π2π32π2πy35313(2)描点．(3)作图，如图所示：周期为T＝2π，频率为f＝1T＝12π，相位为x－π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为2kπ＋56π，2kπ＋116π，k∈Z，增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π，k∈Z.1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．即“五点法”演变成了“4＋2”作图．已知函数y＝2sin2x－π3，用“五点法”画出其简图．[解]列表：xπ65π122π311π127π62x－π30π2π3π22πy＝2sin2x－π3020－20描点，连线得函数y＝2sin2x－π3在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sin2x－π3(x∈R)的图象．[探究问题]1．将函数y＝sinx的图象经过怎样变换，可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象？三角函数的图象变换提示：法一：先相位变换后周期变换．y＝sinx的图象―――――――――――――→φ0，左移φ个单位长度φ0，右移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)的图象――――――――――――――――――――――――→ω1，横坐标缩短到原来的1ω纵坐标不变0ω1，横坐标伸长到原来的1ω倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图象――――――――――――――――――――――→A1，纵坐标伸长到原来的A倍横坐标不变0A1，纵坐标缩短到原来的A横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)的图象．法二：先周期变换后相位变换．y＝sinx的图象――――――――――――――――――――――→ω1，横坐标缩短到原来的1ω纵坐标不变0ω1，横坐标伸长到原来的1ω倍纵坐标不变y＝sinωx的图象――――――――――――→φ0，左移φω个单位长度φ0，右移|φ|ω个单位长度y＝sin(ωx＋φ)的图象――――――――――――――――――――――→A1，纵坐标伸长到原来的A倍横坐标不变0A1，纵坐标缩短到原来的A横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2．将函数y＝sin2x的图象向左平移π2个单位，可以得到哪个函数的图象？提示：y＝sin2xy＝sin2x＋π2＝sin(2x＋π)＝－sin2x.【例2】如何由函数y＝sinx的图象得到函数y＝3sin2x＋π3(x∈R)的图象．思路点拨：可由y＝sinx的图象先进行平移变换，再进行伸缩变换得到y＝3sin2x＋π3的图象，也可以先进行伸缩变换，再进行平移变换．[解]法一：(先平移变换再伸缩变换)y＝sinx的图象――――――――――→向左平移π3个单位长度y＝sinx＋π3的图象――――――――――――→横坐标缩短到原来的12纵坐标不变y＝sin2x＋π3的图象―――――――――――→纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变y＝3sin2x＋π3的图象．法二：(先伸缩变换再平移变换)y＝sinx的图象―――――――――――→横坐标缩短到原来的12纵坐标不变y＝sin2x的图象―――――――――――→向左平移π6个单位长度y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象―――――――――――→纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变y＝3sin2x＋π3的图象．1．(变条件)如何由y＝sinx的图象得到函数y＝3sin12x＋π3的图象．[解]先把y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x＋π3的图象；最后把y＝sin12x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x＋π3的图象．2．(变结论)如何由y＝3sin2x＋π3的图象得到y＝sinx的图象．[解]y＝3sin2x＋π3――――――――――→纵坐标缩短到原来的13横坐标不变y＝sin2x＋π3＝sin2x＋π6――――――→向右平移π6个单位长度y＝sin2x―――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y＝sinx.已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：1将两个函数解析式化简成y＝Asinωx与y＝Asinωx＋φ，即A，ω及名称相同的结构.2找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为φω.3明确平移的方向.提醒：三角函数图象的两种伸缩变换的实质是对函数图象的各点的横坐标的伸缩和纵坐标的伸缩变化.教师独具1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的三个问题(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(2)三角函数图象变换．3．本节课的易错点是由y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移的单位为φω而不是|φ|.当堂达标固双基1．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．3，π6B．3，π3C．6，π6D．6，π3C[由题意可知f(0)＝2sinφ＝1，∴sinφ＝12，又|φ|＜π2，φ＝π6，∴f(x)＝2sinπ3x＋π6，∴T＝2ππ3＝6，φ＝π6.]2．把函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．y＝cosx[y＝sinx――――――→向左平移π2单位y＝sinx＋π2＝cosx．]3．将y＝12sinx的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________.sinx[将函数y＝12sinx的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×12sinx＝sinx的图象．]4．已知函数y＝3sin12x－π4.(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象；(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？(3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．[解](1)列表：12x－π40π2π3π22πxπ23π25π27π29π2y030－30描点连线：将所得五点用光滑的曲线连结起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，(2)法一：①把y＝sinx图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y＝sinx－π4的图象；②把y＝sinx－π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x－π4的图象；③将y＝sin12x－π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图象．法二：①把y＝sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图象；②把y＝sin12x图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y＝sin12x－π2＝sin12x－π4的图象；③将y＝sin12x－π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图象．(3)周期T＝2πω＝2π12＝4π，振幅A＝3，初相是－π4.(4)令12x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝3π2＋2kπ，k∈Z，即函数的对称轴是直线x＝3π2＋2kπ，k∈Z.令12x－π4＝kπ，k∈Z，解得x＝2kπ＋π2，k∈Z，即函数的对称中心为π2＋2kπ，0，k∈Z.令－π2＋2kπ≤12x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π2＋4kπ≤x≤3π2＋4kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为－π2＋4kπ，3π2＋4kπ(k∈Z)．