2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质（第2课时）正弦、

第1章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.2三角函数的图象与性质第2课时正弦、余弦的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.自主预习探新知正弦函数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数y＝sinx，x∈R余弦函数y＝cosx，x∈R图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]最值当时，取得最大值；当时，取得最小值当时，取得最大值；当时，取得最小值周期性周期函数，T＝周期函数，T＝奇偶性，图象关于原点对称，图象关于y轴对称x＝2kπ＋π2(k∈Z)1x＝2kπ－π2(k∈Z)－1x＝2kπ(k∈Z)1x＝2kπ＋π(k∈Z)－12π2π奇函数偶函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数对称性关于x＝kπ＋π2(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于kπ＋π2，0(k∈Z)成中心对称2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)1．思考辨析(1)y＝sinx＋π2是奇函数．()(2)函数y＝3sin2x是周期为π的奇函数．()(3)y＝sinx在－π2，π2上单调递减．()(4)y＝cosx的值域为(－1,1)．()[解析](1)×.∵y＝sinx＋π2＝cosx，∴是偶函数．(2)√.T＝2π2＝π.f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin2x，故为奇函数．(3)×.y＝sinx在－π2，π2上单调递增．(4)×.y＝cosx的值域为[－1,1]．[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．函数y＝12sinx＋1的值域是________．12，32[由sinx∈[－1,1]，得12sinx∈－12，12，所以12sinx＋1∈12，32.]3．函数y＝sin(2x＋π)的对称中心是________．kπ2，0，k∈Z[y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，由2x＝kπ得x＝kπ2(k∈Z)，∴y＝sin(2x＋π)的对称中心为kπ2，0，k∈Z.]合作探究提素养【例1】求下列函数的单调递增区间．(1)y＝2cosπ4－2x；(2)y＝log12sinx－π6.求三角函数的单调区间思路点拨：(1)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．(2)先由sinx－π60，得到相应x的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．[解](1)因为y＝2cosπ4－2x＝2cos2x－π4，由－π＋2kπ≤2x－π4≤2kπ(k∈Z)，得－3π8＋kπ≤x≤kπ＋π8(k∈Z)，所以y＝2cosπ4－2x的单调递增区间为－3π8＋kπ，kπ＋π8(k∈Z)．(2)由sinx－π60得2kπx－π6π＋2kπ(k∈Z)，①要求原函数的单调递增区间，只需求函数y＝sinx－π6的单调递减区间，令π2＋2kπ≤x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)得2π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ(k∈Z)，②由①②可知2π3＋2kπ≤x76π＋2kπ(k∈Z)，所以原函数的单调递增区间为2π3＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．求函数y＝Asinωx＋φA0，ω≠0的单调区间的一般步骤：1当ω0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2k∈Z解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2k∈Z解出x的范围，即为函数递减区间.2当ω0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin－ωx－φ，则y＝sin－ωx－φ的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.余弦函数y＝Acosωx＋φA0，ω≠0的单调性讨论同上.提醒：要注意k∈Z这一条件不能省略.1.求函数y＝2sin2x＋π6，x∈[－π，0]的单调减区间．[解]当2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2时，函数单调递减，解得：kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3.∵x∈[－π，0]，∴取k＝－1，此时－π＋π6≤x≤－π＋2π3，即－5π6≤x≤－π3.故函数y＝2sin2x＋π6，x∈[－π，0]的单调减区间为－5π6，－π3.【例2】用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin194°与cos160°；(2)cos32，sin110，－cos74；(3)sinsin38π与sincos38π.思路点拨：先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．比较三角函数值的大小[解](1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(90°＋70°)＝－sin70°.∵0°14°70°90°，函数y＝sinx在区间(0°，90°)内是增函数，∴sin14°sin70°，∴－sin14°－sin70°，∴sin194°cos160°.(2)sin110＝cosπ2－110，－cos74＝cosπ－74，∵0π－74π2－11032π，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴cosπ－74cosπ2－110cos32，即－cos74sin110cos32.(3)cos3π8＝cosπ2－π8＝sinπ8.∵0π83π8π2，函数y＝sinx在0，π2内是增函数，∴sinπ8sin3π8，∴cos3π8sin3π8.而0cos3π8sin3π81，函数y＝sinx在(0,1)内是增函数，∴sincos3π8sinsin3π8.比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.2．比较下列各组数值的大小：(1)sin2与cos1；(2)sin－376π与sin493π.[解](1)因为cos1＝sinπ2－1，sin2＝sin(π－2)，又0π2－1π－2π2且y＝sinx在0，π2上是递增的，从而sinπ2－1sin(π－2)，即cos1sin2.(2)∵sin－376π＝sin－6π－π6＝sin－π6，sin493π＝sin16π＋π3＝sinπ3，∵y＝sinx在－π2，π2上是增函数，∴sin－π6sinπ3，即sin－376πsin493π.[探究问题]1．如何求函数y＝sinx，x∈－π3，π6上的值域？与三角函数有关的值域问题提示：借助函数y＝sinx在－π3，π6上的单调性求解．因为x∈－π3，π6时，y＝sinx是单调递增函数，所以sin－π3≤sinx≤sinπ6，即－32≤sinx≤12，∴其值域为－32，12.2．如何求形如y＝asinx＋b(a，b≠0)的值域？提示：令t＝sinx，则t∈[－1,1]，从而转化为y＝at＋b，t∈[－1,1]型的值域问题．3．如何求形如y＝asin2x＋bsinx＋c的值域？提示：令sinx＝t，t∈[－1,1]，从而y＝at2＋bt＋c，t∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．【例3】(1)求函数y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6的最大值和最小值；(2)求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈π6，5π6的值域．思路点拨：(1)由x的范围⇒2x＋π3的范围⇒借助单调性求y＝2sin2x＋π3的最值；(2)由x的范围⇒sinx的范围⇒函数的值域．[解](1)∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x＋π3≤2π3，∴0≤sin2x＋π3≤1，∴当sin2x＋π3＝1时，取得最大值2；当sin2x＋π3＝0时，取得最小值0.(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2sinx＋122＋12.∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1.当sinx＝1时，取得最大值5；当sinx＝12时，取得最小值52.∴函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3的值域为52，5.1．(变条件)将本例(1)中“－π6≤x≤π6”改为“－π3≤x≤π6”，求y＝2sin2x＋π3的最值．[解]∵－π3≤x≤π6，∴－π3≤2x＋π3≤2π3，∴－32≤sin2x＋π3≤1，∴当sin2x＋π3＝1时，最大值为2，当sin2x＋π3＝－32时，取最小值－3.2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sinx＋3改为y＝－2cos2x＋2cosx＋3”，其它条件不变，求值域．[解]y＝－2cosx－122＋72，∵x∈π6，5π6，∴－32≤cosx≤32.当cosx＝12时，取得最大值72.当cosx＝－32时，取得最小值32－3.1．求形如y＝Asinx＋B或y＝Acosx＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．教师独具1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3．要重点掌握函数性质的应用(1)求正、余弦函数的周期．(2)判断正、余弦函数的奇偶性．(3)求正、余弦函数的单调区间．(4)求正、余弦函数的值域．4．本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω0，应先利用诱导公式将其转化为正值．(2)求形如函数y＝Asin2x＋Bsinx＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sinx的有界性．当堂达标