2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 诱导公式二、三、四课件 新人教A版必修

1．3三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四第一章三角函数课前自主预习1.角的对称(1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图a；(2)－α的终边与角α的终边关于对称，如图b；(3)π－α的终边与角α的终边关于对称，如图c.□1原点□2x轴□3y轴2．诱导公式1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．()(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．()(5)诱导公式中的角α只能是锐角．()√×√√√2．做一做(1)已知tanα＝4，则tan(π－α)等于()A．π－4B．4C．－4D．4－π解析tan(π－α)＝－tanα＝－4.答案选C.(2)(教材改编P25例1(2))sin7π6的值是()A．－12B．－2C．2D．12解析sin7π6＝sinπ＋π6＝－sinπ6＝－12.故选A.(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________.0解析cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝cos(π＋α)＋cosα＝－cosα＋cosα＝0.课堂互动探究探究1给角求值问题例1求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.解(1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.拓展提升利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【跟踪训练1】求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin8π3cos31π6＋tan－23π4.解(1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin2π＋2π3·cos4π＋7π6＋tan－6π＋π4＝sin2π3·cos7π6＋tanπ4＝sinπ3·－cosπ6＋tanπ4＝32×－32＋1＝14.探究2给值求值问题例2(1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是()A．45B．－45C．±45D．35(2)已知cosπ6－α＝33，则cosα＋5π6＝________.－33解析(1)因为cos(π－α)＝－cosα，所以cosα＝35.因为α是第一象限角，所以sinα0.所以sinα＝1－cos2α＝1－352＝45.所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－45.(2)cosα＋5π6＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.[互动探究]1.若本例(2)中的条件不变，如何求cosα－13π6？解cosα－13π6＝cos13π6－α＝cos2π＋π6－α＝cosπ6－α＝33.2．若本例(2)条件不变，求cos5π6＋α－sin2α－π6的值．解因为cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2－π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，所以cos5π6＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.拓展提升解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【跟踪训练2】(1)已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为()A．1B．－1C．13D．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cosπ－α－3sinπ＋α4cos－α＋sin2π－α的值．223答案(3)见解析解析(1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－130，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos2α－55°＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tanα＝3.故2cosπ－α－3sinπ＋α4cos－α＋sin2π－α＝－2cosα＋3sinα4cosα－sinα＝－2＋3tanα4－tanα＝－2＋3×34－3＝7.探究3三角函数式的化简例3化简下列各式：(1)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；(2)sin2kπ＋2π3·coskπ＋4π3(k∈Z)．解(1)原式＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－sinα－sinα－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)当k为偶数时，原式＝sin2π3·cos4π3＝sinπ－π3cosπ＋π3＝－sinπ3cosπ3＝－34.当k为奇数时，原式＝sin2π3cosπ＋4π3＝sinπ－π3cos2π＋π3＝sinπ3cosπ3＝34.拓展提升三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α(k∈Z)的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．【跟踪训练3】化简：(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α；(2)sin1440°＋α·cosα－1080°cos－180°－α·sin－α－180°.解(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.(2)原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinα·cos－α－cosα·sinα＝cosα－cosα＝－1.1.公式中的角α可以是任意角．2.这四组诱导公式可以叙述为k·2π＋α(k∈Z)，－α，π＋α，π－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．3.以上四组公式可用“函数名不变，符号看象限”记忆．其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数在本公式中角的终边所在象限是取正值还是取负值．如sin(π＋α)，若将α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.4.诱导公式—～四的应用记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.课堂达标自测1．若n为整数，则化简sinnπ＋αcosnπ＋α所得的结果是()A．tannαB．－tannαC．tanαD．－tanα解析原式＝tan(nπ＋α)，无论n是奇数还是偶数，tan(nπ＋α)都等于tanα.2．已知tanπ3－α＝13，则tan2π3＋α＝()A．13B．－13C．233D．－233解析因为tan2π3＋α＝tanπ－π3－α＝－tanπ3－α，所以tan2π3＋α＝－13.3.cos－585°sin495°＋sin－570°的值等于________．2－2解析原式＝cos360°＋225°sin360°＋135°－sin210°＋360°＝cos225°sin135°－sin210°＝cos180°＋45°sin180°－45°－sin180°＋30°＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.－513解析sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]＝－sin(45°＋α)＝－513.5．化简：sinα＋nπ＋sinα－nπsinα＋nπcosα－nπ(n∈Z)．解当n＝2k，k∈Z时，原式＝sinα＋2kπ＋sinα－2kπsinα＋2kπcosα－2kπ＝2cosα.当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝sin[α＋2k＋1π]＋sin[α－2k＋1π]sin[α＋2k＋1π]cos[α－2k＋1π]＝－2cosα.所以原式＝2cosαn为偶数，－2cosαn为奇数.