2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式（第2课时）三角函数

第1章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式第2课时三角函数的诱导公式(五～六)学习目标核心素养(教师独具)1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.自主预习探新知一、诱导公式五终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sinπ2－α＝；cosπ2－α＝.cosαsinα思考1：角π6与角π3的三角函数值有什么关系？[提示]sinπ6＝cosπ3＝12，cosπ6＝sinπ3＝32.思考2：角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？[提示]关于直线y＝x对称．二、诱导公式六π2＋α型诱导公式(公式六)：sinπ2＋α＝；cosπ2＋α＝.cosα－sinα1．思考辨析(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)sin(90°＋α)＝－cosα.()(3)cos5π2＋α＝－sinα.()[解析](1)×.如tan(π＋α)＝tanα中，α＝π2不成立．(2)×.sin(90°＋α)＝cosα.(3)√.cos5π2＋α＝cos2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα.[答案](1)×(2)×(3)√2．(1)若sinα＝13，则cosπ2－α＝________；(2)若cosα＝45，则sinπ2－α＝________.(1)13(2)45[(1)cosπ2－α＝sinα＝13.(2)sinπ2－α＝cosα＝45.]合作探究提素养【例1】(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α的值是________．(2)已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值是______．(3)已知sin(π＋A)＝－12，则cos32π－A的值是______．思路点拨：从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．给值求值(1)12(2)－13(3)－12[(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴π6＋α＝π2－π3－α，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)∵sinα－π4＝13，∴sinπ4－α＝－13.又∵π4－α＋π4＋α＝π2，∴cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝－13.(3)sin(π＋A)＝－sinA＝－12，cos3π2－A＝cosπ＋π2－A＝－cosπ2－A＝－sinA＝－12.]1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等．1．已知cosα＋π6＝35，求sinα＋2π3的值．[解]∵α＋2π3＝α＋π6＋π2，∴sinα＋2π3＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35.思路点拨：利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．[解](1)f(α)＝－sinα·cosα·－cosα－cosαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα，∴sinα＝－15，又α是第三象限的角，∴cosα＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝265.(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.用诱导公式化简求值的方法：1对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.2对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.2．已知cosπ2＋α＝13，求sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcos3π2＋αsinπ＋α的值．[解]原式＝cosαsinα－cosα＋sinαsinα－sinα＝－sinα－sinα＝－2sinα.又cosπ2＋α＝13，所以－sinα＝13.所以原式＝－2sinα＝23.【例3】在△ABC中，sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2，试判断△ABC的形状．思路点拨：sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2――――――→A＋B＋C＝π得B，C关系―→△ABC的形状诱导公式在三角形中的应用[解]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又∵sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2，∴sinπ－2C2＝sinπ－2B2，∴sinπ2－C＝sinπ2－B，∴cosC＝cosB.又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形．1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．2．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC＝tan(A＋B)＝－tanC；sinB＋C2＝cosA2；cosA＋C2＝sinB2.3．已知f(α)＝sinπ－αcos－αsinπ2＋αcosπ＋αsin－α.(1)化简f(α)；(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝35，求tanA－sinA的值．[解](1)f(α)＝sinαcosαcosα－cosα－sinα＝cosα.(2)因为f(A)＝cosA＝35，又A为△ABC的内角，所以由平方关系，得sinA＝1－cos2A＝45，所以tanA＝sinAcosA＝43，所以tanA－sinA＝43－45＝815.教师独具1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题．(2)利用诱导公式解决条件求值问题．(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋π4－α＝π2，5π6＋α－π3＋α＝π2等.当堂达标固双基1．若cos40°＝a，则sin50°＝()A．－aB．aC.1－a2D．－1－a2B[∵sin50°＝cos40°，∴sin50°＝a.]2．若cos(π＋α)＝13，则sinπ2＋α＝________.－13[∵cos(π＋α)＝－cosα＝13，∴cosα＝－13，∴sinπ2＋α＝cosα＝－13.]3．已知sinα＝23，则cosπ2－α＝________.23[cosπ2－α＝sinα＝23.]4．若sinα＝55，求cos3π－αsinπ2＋αsin7π2＋α－1＋sin5π2－αcos3π＋αsin5π2＋α－sin7π2＋α的值．[解]cos3π－αsinπ2＋αsin7π2＋α－1＋sin5π2－αcos3π＋αsin5π2＋α－sin7π2＋α＝cos[2π＋π－α]cosαsin3π＋π2＋α－1＋sin2π＋π2－αcosπ＋αsin2π＋π2＋α－sin3π＋π2＋α＝－cosαcosα－cosα－1＋cosα－cosαcosα＋cosα＝11＋cosα＋11－cosα＝2sin2α.∵sinα＝55，∴2sin2α＝10.即原式＝10.