2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系课件 苏教版必修4

第1章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系学习目标核心素养(教师独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.(重点)2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.自主预习探新知同角三角函数的基本关系1．平方关系：________________.2．商数关系：____________________________.sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？[提示]不一定．1．思考辨析(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()(3)若sinα＝12，则cosα＝32.()[解析](1)√.符合同角三角函数的关系．(2)×.等式sinα2cosα2＝tanα2的条件是cosα2≠0，α2≠π2＋kπ，k∈Z，即α≠π＋2kπ，k∈Z.(3)×.因为α的范围不明确，故cosα＝±1－sin2α＝±32.[答案](1)√(2)×(3)×2．已知α是第二象限角，且cosα＝－13，则tanα＝________.－22[∵α是第二象限角，∴sinα＞0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝1－cos2α＝1－－132＝223，∴tanα＝sinαcosα＝－22.]3．已知tanα＝2，则cosα－5sinα3cosα＋sinα＝________.－95[由tanα＝2知cosα≠0，所以cosα－5sinα3cosα＋sinα＝1－5tanα3＋tanα＝－95.]合作探究提素养【例1】(1)已知sinα＝－35，求cosα，tanα的值；(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．思路点拨：(1)sinα＝－35―――――――→sin2α＋cos2α＝1求cos2α――――――→讨论α所在的象限求cosα，tanα(2)先由已知条件求出tanα，再将式子化成关于tanα的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．利用同角基本关系式求值[解](1)因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－－352＝1625.如果α是第三象限角，那么cosα＜0.于是cosα＝－1625＝－45，从而tanα＝sinαcosα＝－35×－54＝34.如果α是第四象限角，那么cosα＝45，tanα＝－34.(2)法一：由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1＝－4－14＋1＝－1.法二：由sinα＋2cosα＝0得2cosα＝－sinα，所以2sinαcosα－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.1．求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．1．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[解]法一：∵tanα＝－20，∴α为第二或第四象限角，且sinα＝－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sinα，得(－2cosα)2＋cos2α＝1，即cos2α＝15；当α为第二象限角时，cosα＝－55，代入①得sinα＝255；当α为第四象限角时，cosα＝55，代入①得sinα＝－255.法二：∵tanα＝－20，∴α为第二或第四象限角．由tanα＝sinαcosα，两边分别平方，得tan2α＝sin2αcos2α，又sin2α＋cos2α＝1，∴tan2α＋1＝sin2αcos2α＋1＝sin2α＋cos2αcos2α＝1cos2α，即cos2α＝11＋tan2α.当α为第二象限角时，cosα0，∴cosα＝－11＋tan2α＝－11＋－22＝－55，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×－55＝255.当α为第四象限角时，cosα0，∴cosα＝11＋tan2α＝11＋－22＝55，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×55＝－255.【例2】(1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°；(2)若角α是第二象限角，化简：tanα1sin2α－1.思路点拨：(1)利用平方关系代换“1”―→构造完全平方――→开方化简求值(2)切化弦―→化简求值三角函数式的化简、求值[解](1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα×|cosα||sinα|，因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0，所以原式＝sinαcosα×|cosα||sinα|＝sinαcosα×－cosαsinα＝－1.化简三角函数式的常用方法：1切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.2．化简：(1)cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)sinθ－cosθtanθ－1.[解](1)原式＝cos36°－sin236°sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1.(2)原式＝sinθ－cosθsinθcosθ－1＝cosθsinθ－cosθsinθ－cosθ＝cosθ.【例3】求证：1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝1＋tanx1－tanx.思路点拨：从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．三角函数式的证明[解]∵(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，∴左边＝sinx＋cosx2cosx＋sinxcosx－sinx＝sinx＋cosxcosx－sinx＝1＋tanx1－tanx＝右边．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切如：已知tanα，求关于sinα，cosα的齐次式的问题；“1”的代换1＝sin2α＋cos2α；多项式运算技巧的运用如因式分解、通分、整体代换等；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.3．证明下列三角恒等式：(1)tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα；(2)2sinαcosαsinα＋cosα－1sinα－cosα＋1＝1＋cosαsinα.[证明](1)左边＝sinαcosα·sinαsinαcosα－sinα＝sin2αsinα－sinαcosα＝1－cos2αsinα1－cosα＝1＋cosαsinα.右边＝1sinα＋1tanα＝1sinα＋cosαsinα＝1＋cosαsinα.∴左边＝右边，等式恒成立．(2)左边＝2sinαcosα[sinα＋cosα－1][sinα－cosα－1]＝2sinαcosαsin2α－cosα－12＝2sinαcosαsin2α－cos2α－1＋2cosα＝2sinαcosα2cosα1－cosα＝sinα1－cosα＝sinα1＋cosα1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosαsin2α＝1＋cosαsinα＝右边．所以原等式成立．[探究问题]1．已知sinα±cosα的值，能求sinαcosα的值吗？反之呢？“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系提示：设sinα±cosα＝m，则(sinα±cosα)2＝m2，即1±2sinαcosα＝m2，所以sinαcosα＝±m2－12.反之也可以，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，开方便可．2．已知sinα＋cosα的值，如何求sinα－cosα或cosα－sinα的值？提示：设sinα＋cosα＝t，则1＋2sinαcosα＝t2，从而2sinαcosα＝t2－1，∴1－2sinαcosα＝2－t2，从而(sinα－cosα)2＝2－t2，对上式开方便可得出“sinα－cosα”或“cosα－sinα”的值．已知sinα＋cosα＝15，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．思路点拨：sinα＋cosα＝15――→平方求sinαcosα――――――→构造完全平方差公式求sinα－cosα2―――――――→0＜α＜π求sinα－cosα[解](1)∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝125，∴1＋2sinαcosα＝125，即sinαcosα＝－1225.(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.又∵0＜α＜π，且sinαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75.(变条件)若本例中变为“已知cosαsinα＝18”，那么cosα－sinα的值为多少？[解]因为cosαsinα＝18，所以cosα－sinα＝±sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝±1－2×18＝±32.1．已知sinθ±cosθ求sinθcosθ，只需平方便可．2．已知sinθcosθ求sinθ±cosθ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sinθ±cosθ的正负．教师独具1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．2．要掌握sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的转换(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用(1)利用同角三角函数的基本关系求值；(2)sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用．(3)三角函数式的化简与证明的方法．4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sinα、cosα的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sinα、cosα漏解或多解的错误．当堂达标固双基1．若sinα＝