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第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过把单位圆的对称几何关系用坐标表示，抽象出三角函数的基本关系，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升运用联系的观点获得研究思路，这也是数学研究中的常用思想.自主预习探新知1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于．11思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？[提示]成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．2．商数关系(1)公式：sinαcosα＝α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于．平方关系公式的推导角α的正切tanα如图，设P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sinα＝，cosα＝，在Rt△OPM中，＝1，因此＝1，即＝1.sin2α＋cos2αOM2＋MP2x2＋y2yx1．化简1－sin2π5的结果是()A．cosπ5B．－cosπ5C．sinπ5D．－sinπ5A[1－sin2π5＝cos2π5＝cosπ5＝cosπ5.]2．若sinα＝45，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－43B．34C．±34D．±43A[∵sinα＝45且α是第二象限角，∴cosα＝－1－452＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝－43.]3．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是．－55[由tanα＝12得sinαcosα＝12，即cosα＝2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，∴sinα＝±55，又∵α∈π，3π2，∴sinα＝－55.]4．已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，则sinαcosα的值为．310[由已知得tanα＋1tanα－1＝2，解得tanα＝3，∴sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝332＋1＝310.]合作探究提素养直接应用同角三角函数关系求值【例1】(1)已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝．(2)已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．思路点拨：(1)根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα.(1)－55[由已知得sinαcosα＝2，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15，又α∈π，3π2，所以cosα＜0，所以cosα＝－55.](2)[解]∵cosα＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解]∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±1010.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－1010，sinα＝31010；当角α的终边在第四象限时，cosα＝1010，sinα＝－31010.灵活应用同角基本关系式求值[探究问题]1．齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值．2．sinα±cosα与sinαcosα有怎样的关系，在求值中能否相互转化？提示：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若含sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12.这三者在求值中是可以转化的．【例2】(1)已知sinα＋cosα＝713，α∈(0，π)，则tanα＝．(2)已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，计算下列各式的值：①3sinα－cosα2sinα＋3cosα；②sin2α－2sinαcosα＋1.思路点拨：(1)法一：求sinαcosα→求sinα－cosα→求sinα和cosα→求tanα法二：求sinαcosα→弦化切构建关于tanα的方程→求tanα(2)求tanα→换元或弦化切求值(1)－125[法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝713，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝49169，即2sinαcosα＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1713.②由①②解得sinα＝1213，cosα＝－513，所以tanα＝sinαcosα＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－60169，sinαcosαsin2α＋cos2α＝－60169，tanαtan2α＋1＝－60169，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－512或tanα＝－125.由sinα＋cosα＝713＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－125.](2)[解]由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(换元)原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二(弦化切)原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＋1＝tan2α－2tanαtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈－π2，0，”其他条件不变，结果又如何？[解]由例(1)求出2sinαcosα＝－120169，因为α∈－π2，0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝－（sinα－cosα）2＝－1－2sinαcosα＝－1713.与sinα＋cosα＝713联立解得sinα＝－513，cosα＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－512.2．将本例(1)的条件“sinα＋cosα＝713”改为“sinαcosα＝－18”，其他条件不变，求cosα－sinα.[解]因为sinαcosα＝－18＜0，所以α∈π2，π，所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝－1－2sinαcosα＝－1－2×－18＝－52.1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值：解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cosα≠0，所以可除以cosα，这样可将被求式化为关于tanα的表达式，然后代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．应用同角三角函数关系式化简【例3】(1)化简2sin2α－11－2cos2α＝．(2)化简sinα1－cosα·tanα－sinαtanα＋sinα.(其中α是第三象限角)思路点拨：(1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．(2)首先将tanα化为sinαcosα，然后化简根式，最后约分．(1)1[原式＝2sin2α－11－2（1－sin2α）＝2sin2α－12sin2α－1＝1.](2)原式＝sinα1－cosα·sinαcosα－sinαsinαcosα＋sinα＝sinα1－cosα·1－cosα1＋cosα＝sinα1－cosα·（1－cosα）21－cos2α＝sinα1－cosα·1－cosα|sinα|.又因为α是第三象限角，所以sinα＜0.所以原式＝sinα1－cosα·1－cosα－sinα＝－1.三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．2．化简下列各式：(1)tanα·1sin2α－1(α是第二象限角)；(2)2sin4x＋2cos4x2sin2xcos2x－1.[解](1)tanα·1sin2α－1＝tanα·1－sin2αsin2α＝tanα·cos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα.因为α为第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以原式＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.(2)2sin4x＋2cos4x2sin2xcos2x－1＝2（sin2x＋cos2x）2－4sin2xcos2x2sin2xcos2x－1＝2－4sin2xcos2x2sin2xcos2x－1＝－2.应用同角三角函数关系式证明[探究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP或证QN＝PM等．2．在证明1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα时如何巧用“1”的代换．提示：在求证1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα时，观察等式左边有2sinαcosα，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，所以等式左边＝（sin2α＋cos2α＋2sinαcosα）＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝（sinα＋cosα）2＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝（sinα＋cosα）（sinα＋cosα＋1）sinα＋cosα＋1＝sinα＋cosα＝右边．【例4】求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.思路点拨：解答本题可由关系式tanα＝sinαcosα将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．[证明]法一：(切化弦)左边＝sin2αsinα－sinαcosα＝sinα1－cosα，右边＝sinα＋sinαcosαsin2α＝1＋cosαsinα.因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以sinα1－cosα＝1＋cosαsinα，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan2α－