搜索
1．2任意角的三角函数1．2.1任意角的三角函数第2课时单位圆与三角函数线第一章三角函数课前自主预习1.有向线段(1)定义：(2)表示：用表示起点、终点，如有向线段OM，MP.□1带有方向的线段．□2大写字母2．三角函数线1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值．()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()√××2．做一做(1)(教材改编P17T3)已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则tanα＝()A．0B．1C．－1D．3解析因正弦线、余弦线长度相等，则|tanα|＝1.又α在第二象限，tanα0，∴tanα＝－1.(2)角π5和角6π5有相同的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不能确定解析由正切线的定义可知π5和6π5有相同的正切线．(3)sin1－cos1________0(填“”或“”)．解析因为π41π2，如图所示．由三角函数线可得sin122cos1，故sin1－cos10.课堂互动探究探究1作三角函数线例1作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．解角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与3π4的终边的反向延长线交于点T，则3π4的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.[条件探究]将例1中的3π4改为－9π4，作出三个三角函数线．解如图，－9π4的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.拓展提升三角函数线的画法(1)画三角函数线首先确定角的终边位置．(2)作正弦线、余弦线时，先找到角的终边与单位圆的交点，再过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(3)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.【跟踪训练1】在单位圆中画出满足sinα＝12的角α的终边．解如图作直线y＝12交单位圆于P，Q，则OP，OQ为角α的终边．探究2利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)sin2π3与sin4π5；(2)cos2π3与cos4π5；(3)tan2π3与tan4π5.解如图所示，在单位圆中，画出2π3的终边为OP1，4π5的终边为OP2，过P1，P2分别作x轴的垂线，垂足为M1，M2，反向延长线P1O，P2O交经过A(1,0)的单位圆的切线于T1，T2.则sin2π3＝M1P1，sin4π5＝M2P2.∵M1P1M2P2，M1P1，M2P2与y轴正方向相同，∴sin2π3sin4π5.又cos2π3＝OM1，cos4π5＝OM2，∵OM1OM2，OM1，OM2在x轴负方向上，∴cos2π3cos4π5.又tan2π3＝AT1，tan4π5＝AT2，∵AT1AT2，AT1，AT2在y轴负方向上，∴tan2π3tan4π5.拓展提升(1)利用三角函数线比较大小的步骤①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．【跟踪训练2】设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则a，b，c的大小顺序排列为________．bac解析由如图的三角函数线知：M1P1＝MPAT，因为2π72π8＝π4，所以MPOM，所以cos2π7sin2π7tan2π7，所以bac.探究3利用三角函数线解不等式或求定义域例3求下列函数的定义域：(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x).解(1)要使函数有意义，须使2cosx－1≥0，∴cosx≥12.如图，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．(2)要使函数有意义，须使3－4sin2x0，∴sin2x34.∴－32sinx32.如下图，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3∪2kπ＋2π3，2kπ＋4π3(k∈Z)，即x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．例4已知－12≤cosθ32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ2kπ－2π3≤θ2kπ－π6或2kπ＋π6θ≤2kπ＋2π3，k∈R.[条件探究]将例3(1)改为y＝1－2cosx，求其定义域．解∵1－2cosx≥0，∴cosx≤12，如图：∴x∈2kπ＋π3，2kπ＋5π3(k∈Z)．拓展提升用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下三点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π之间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间；(3)解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，取其公共部分．【跟踪训练3】(1)利用三角函数线求满足tanα≥33的角α的范围；(2)求下列函数的定义域：①y＝2sinx＋1；②y＝lg(2－2sinx)．解(1)如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝33，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tanα≥33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tanα≥33，有30°≤α90°或210°≤α270°，故满足tanα≥33，有k·180°＋30°≤αk·180°＋90°，k∈Z.(2)①要使2sinx＋1有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥－12，结合三角函数线(如图所示)知x的取值范围是－π6＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．②由2－2sinx0，得sinx22，如图．∴2kπ－5π4x2kπ＋π4(k∈Z)．故函数的定义域为2kπ－5π4，2kπ＋π4(k∈Z)．1．理解三角函数线应注意的四点(1)位置；(2)方向；(3)正负；(4)书写．2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．特别地，当角α的终边落在x轴上时，M与P重合，A与T重合，这时正弦线和正切线都变成一个点；当角α的终边落在y轴上时，M与O重合，这时余弦线变成一个点，过点A的切线与角α的终边所在直线不会相交，这时，正切线不存在.课堂达标自测1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线AT解析正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；正切线由切点A指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点．2．下列各式正确的是()A．sin1sinπ3B．sin1sinπ3C．sin1＝sinπ3D．sin1≥sinπ3解析1和π3的终边均在第一象限，且π3的正弦线大于1的正弦线，则sin1sinπ3.3．若θ∈3π4，3π2，则sinθ的取值范围是_____________．－1，22解析由图可知sin3π4＝22，sin3π2＝－1，则－1sinθ22，故sinθ的取值范围是－1，22.4．sin2π5，cos6π5，tan2π5从小到大的顺序是_______________________．cos6π5sin2π5tan2π5解析由图可知：cos6π50，tan2π50，sin2π50.∵|MP||AT|，∴sin2π5tan2π5.故cos6π5sin2π5tan2π5.5．已知sinx－12，且cosx12，利用三角函数线写出满足条件的角x的集合．解由图知，当sinx－12，且cosx12时，角x的集合为x－π6＋2kπxπ3＋2kπ，k∈Z.