2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 4 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空

第一章立体几何初步§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)学习目标核心素养1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系．2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点)3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)1.通过了解空间图形的基本构成，培养直观想象素养．2．通过学习空间图形的公理1、2、3提升逻辑推理素养.自主预习探新知1．空间图形的基本关系位置关系图形表示符号表示点A不在直线a上A∉a点与线的位置关系点B在直线a上B∈a点A在平面α内A∈α点与面的位置关系点B在平面α外B∉α平行a∥b相交________直线与直线的位置关系平行a与b异面线在面内_____线面相交________直线与平面的位置关系线面平行_____a∥αaαa∩b＝Oa∩α＝A面面平行______平面与平面的位置关系面面相交_________α∥βα∩β＝a对于长方体有12条棱和6个面．思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3：六个面之间有哪几种位置关系．提示：平行和相交．2．空间图形的公理(1)三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过上的三点，一个平面(即可以确定一个平面)若A，B，C三点不共线，则点一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α不在一条直线C确定A，B，有且只有公理2如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即线)若A∈l，B∈l，A∈α，，则公理3如果两个不重合的平面，那么它们一条过该点的公共直线若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则，且有且只有α∩β＝llα两点在平面内有一个公共点B∈αA∈l(2)公理1的三个推论：推论1：一条直线和确定一个平面．推论2：两条直线确定一个平面．推论3：两条直线确定一个平面．公理1及其推论给出了确定平面的依据．直线外一点平行相交思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线．思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα[答案]C2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对C[若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．]3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()D[画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.[答案]∈∉∩合作探究提素养三种语言的相互转换【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.1．(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________．(2)如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(1)直线l在平面α内[如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα.](2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线．点线共面问题【例2】证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[思路探究]先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；2先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；3假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．点共线与线共点问题[探究问题]1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由．提示：连接BD(图略)．∵EF，HG相交于一点P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴点P，B，D共线．2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，能否判断B，Q，D1三点共线？提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线．【例3】已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．[思路探究]解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．1．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．2．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．[解]如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．当堂达标固双基1．思考辨析(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．()(2)两个平面的交线可以是一条线段．()(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”．()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线．()[解析](1)×，不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错．(2)×，两个平面的交线是直线，故(2)错．(3)√，正确．(4)×，可能相交或平行，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]3．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．平行、相交或异面[两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．]4．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．[解]如图所示．∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，设这个平面为α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面．