2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球课件 北师大版必修2

立体几何初步第一章§7简单几何体的再认识7．3球课前自主预习1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．(2)球的截面性质①球的截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关系：r＝.R2－d22．球的切线(1)当直线与球有交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点．(2)过球外一点的所有切线的长度．3．球的表面积和体积(1)球的表面积公式(R为球的半径)．(2)球的体积公式.唯一都相等S球面＝4πR2V球＝43πR3判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()(3)用任意平面截球，所得截面都是圆．()[答案](1)√(2)√(3)√课堂互动探究题型一球的表面积和体积【典例1】(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3D.64π3(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．[思路导引](1)求球的半径是求球表面积与体积的关键．(2)利用体积相等，求大球半径．[解析](1)43πR3＝32π3，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，即大铁球的体积为43π×R3＝8π3，所以半径为32.[答案](1)B(2)32解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[针对训练1](1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．22倍C.2倍D.32倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()A.6π6B.π2C.2π2D.6π6[解析](1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的22倍．(2)设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a2＝4πR2.则aR＝6π3，则a343πR3＝34π·6π33＝6π6.[答案](1)B(2)A题型二球的截面【典例2】在球内有相距9cm的两个平行截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求此球的表面积．[思路导引]用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形．[解](1)若两截面位于球心的同侧．解法一：如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为Rcm，截面圆的半径分别为rcm，r1cm.由πr21＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.由题意可知OC1－OC＝9，即R2－49－R2－400＝9，解此方程，取正值得R＝25.解法二：同解法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25cm.(以下略)(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．[针对训练2]把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1B．2C．1或7D．2或6[解析]画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.[答案]C题型三与球有关的切和接问题【典例3】(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[思路导引](1)长方体的体对角线即是外接球的直径．(2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键．[解析](1)长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为2a2＋a2＋a2＝6a，得球的半径为62a，则球的表面积为4π62a2＝6πa2.(2)如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OE＝R，OA＝OEsin30°＝2OE＝2R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝3R，∴V球＝43πR3，V圆锥＝13π·BD2×AD＝13π(3R)2×3R＝3πR3，则V球∶V圆锥＝4∶9.[答案](1)B(2)4∶9(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝22a，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝12a2＋b2＋c2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝3a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝62a.[针对训练3](1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶9(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________．[解析](1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32，∴其体积比为43π×123∶43π×323＝1∶33.(2)设长方体共顶点的三条棱长分别为a、b、c，则ab＝3，bc＝5，ac＝15，解得a＝3，b＝1，c＝5，∴外接球半径为a2＋b2＋c22＝32，∴外接球表面积为4π×322＝9π.[答案](1)C(2)9π