2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件 北

立体几何初步第一章§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积课前自主预习1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝(其中r为底面半径，l为侧面母线长)．S圆台侧＝(其中r1，r2分别为上、下底面半径，l为侧面母线长)．2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧＝(其中c为底面周长，h为高)．πrlπ(r1＋r2)lchS正棱锥侧＝(其中c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形的高)．S正棱台侧＝(其中c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高)．12ch′12(c＋c′)h′判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(3)圆台的侧面展开图是梯形．()(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图表面积相等．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√课堂互动探究题型一圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积【典例1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________.[思路导引](1)圆柱的表面积等于圆柱侧面积及上下两个底面面积之和，分别求之．(2)圆锥的表面积等于圆锥侧面积及底面面积之和，分别求之即可．[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)由题意，得该圆锥的母线长l＝82＋62＝10，∴该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，∴该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.[答案](1)B(2)144π空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．[针对训练1](1)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A．81πB．100πC．168πD．169π(2)若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是________．[解析](1)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.(2)设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，∴r＝2，∴圆锥的表面积为S＝πr2＋12π×42＝4π＋12π×16＝12π.[答案](1)C(2)12π题型二棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积【典例2】已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．[思路导引]正四棱台的侧面积即各个侧面的面积之和，分别研究各个侧面的特征并求出各个侧面的面积，从而求出它们的和．[解]如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，则OE＝12AB＝12×12＝6，O1E1＝12A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝317.所以S侧＝4×12×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×317＝10817.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．[针对训练2]已知正三棱锥V－ABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．[解]由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，所以VD＝VB2－BD2＝42－32＝13，则S△VBC＝12VD·BC＝12×13×23＝39，S△ABC＝12×(23)2×32＝33，所以三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3).题型三简单组合体的表面积【典例3】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π[思路导引]根据三视图还原成几何体，根据几何体的组成特征，分解成几个几何体的表面积之和，注意重合部分．[解析]由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.[答案]C求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．[针对训练3]某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.[解析]其直观图如图．由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，∴其表面积S＝6×(1×1)＋2×12×1×1＋1×2＝7＋2.[答案]7＋2