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立体几何初步第一章§5平行关系5．2平行关系的性质二平面与平面平行的性质课前自主预习平面和平面平行的性质定理1．观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.(1)平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？(2)若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？(3)过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？[答案](1)是的．(2)不一定，也可能异面．(3)平行．2．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？[答案]一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行.课堂互动探究题型一对面面平行性质的理解【典例1】(1)平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，下面四种情形：①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有()A．1种B．2种C．3种D．4种(2)给出三种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQα.其中正确说法的序号是________．[解析](1)因为平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，所以直线a与直线b无公共点．当直线a与直线b共面时，a∥b；当直线a与直线b异面时，a与b所成的角大小可以是90°.综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形．故选C.(2)①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.②正确．若直线a与平面β平行或直线aβ，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或aα，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．③正确．如图(2)，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQγ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为aα，所以PQα.[答案](1)C(2)①②③常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．[针对训练1]下列命题中正确的是()A．夹在两个平行平面间的相等线段必平行B．夹在两个平行平面间的平行线段长相等C．两个平面到一条直线的距离相等，则两平面平行D．一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则两平面平行[解析]夹在两个平行平面间的相等线段可以平行也可以相交或异面；两个平面到一条直线的距离相等，两平面不一定平行；一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则两平面不一定平行，必须是两条相交直线才行．[答案]B题型二平面与平面平行性质定理的应用【典例2】如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．[思路导引](1)AC与BD分别是平面SBD与平面α、β的交线，而平面α平行于平面β，利用面面平行的性质定理可得．(2)利用相似比求线段长．[解]设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SCSC＋CD＝SASB，即SCSC＋34＝89，所以SC＝272.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[针对训练2]已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.求证：ABBC＝EFFG.[证明]连接AG交β于H，连接BH、FH、AE、CG.∵β∥γ，平面ACG∩β＝BH.平面ACG∩γ＝CG∴BH∥CG.同理AE∥HF∴ABBC＝AHHG＝EFFG.题型三平行关系的综合应用【典例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.[思路导引](1)证明平行关系时，应综合应用线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化.(2)关键是连接AC交BD于O，结合PC中点M，利用中位线，进行平行转化，进而作出判断.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP平面BDM，OM平面BDM,∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，GH平面PAD，∴GH∥平面PAD.(1)本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行.(2)在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面.[针对训练3]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使B1D∥平面A1C1E.[解]如图，连接B1D1，设A1C1∩B1D1＝M，连接ME.若B1D∥平面A1C1E，则B1D平行于过B1D的平面与平面A1C1E的交线.由于B1D平面B1DD1，平面B1DD1∩平面A1C1E＝ME,所以B1D∥ME.又因为M为B1D1的中点，所以E为DD1的中点.