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立体几何初步第一章§5平行关系5．1平行关系的判定二平面与平面平行的判定课前自主预习平面和平面平行的判定定理1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？[答案]不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．2．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？[答案]不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交．课堂互动探究题型一对面面平行判定定理的理解【典例1】下列四个命题：①若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；②若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行．其中正确的个数是________．[解析]①若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行，此命题不正确，此两条直线不相交时两面也可能是相交的；②若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行，此命题不正确，如果这无数条直线都是平行的，就不能保证两面是平行的；③平行于同一条直线的两个平面平行，此命题不正确，在此条件下，两平面可以相交；④两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面有可能是相交平面，此时这两条直线均与交线平行．故答案为0.[答案]0在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．[针对训练1]设直线l,m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有()①lα，mα，且l∥β，m∥β；②lα，mα，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P,lα，mα，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个[解析]①错误，因为l,m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．[答案]A题型二两个平面平行的判定【典例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.[思路导引]要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．[证明]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点所以C1E∥DB，C1E＝DB则四边形C1DBE为平行四边形因此EB∥C1D.又C1D平面ADC1，EB平面ADC1所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD所以四边形EDBB1为平行四边形则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)所以ED∥A1A，ED＝A1A则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E平面ADC1，AD平面ADC1所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.[针对训练2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明](1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM平面BDFE，DF平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.题型三线面平行、面面平行的综合应用【典例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．证明：(1)直线EG∥平面BDD1B1.(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[思路导引](1)只需在平面BDD1B1中找一条直线证明与直线EG平行即可．(2)在平面EFG内找两条相交直线与平面BDD1B1平行．[证明](1)连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)∵E、F分别是BC、DC的中点，∴EF∥BD，又BD平面BDD1B1EF平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1，又由(1)知，EG∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)线线平行⇒线面平行⇒面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．[针对训练3]如图所示，两三角形ABC和A1B1C1的对应顶点的连线AA1，BB1，CC1交于同一点O，且AOA1O＝BOB1O＝COC1O＝23.(1)求证：平面ABC∥平面A1B1C1；(2)求S△ABC∶S△A1B1C1的值．[解](1)证明：∵AA1与BB1交于O点，且AOA1O＝BOB1O＝23，∴AB∥A1B1.同理AC∥A1C1，BC∥B1C1.又AB∩AC＝A，A1B1∩A1C1＝A1，AB，AC平面ABC，A1B1，A1C1平面A1B1C1，∴平面ABC∥平面A1B1C1.(2)由(1)易知△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2∶3，∴S△ABCS△A1B1C1＝49.