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立体几何初步第一章§4空间图形的基本关系与公理4．2空间图形的公理(第2课时)课前自主预习1．空间图形的公理公理4平行于同一条直线的两条直线定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角2．异面直线(1)异面直线的定义不共面(不同在一个平面内)的两条直线叫作异面直线．平行．相等或互补．任何(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种共面直线相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不共面的两条直线，公共点．没有(3)异面直线所成的角过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的就是异面直线a，b所成的角．如果两条异面直线所成的角是，我们称这两条直线互相垂直，记作：a⊥b.锐角(或直角)直角判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．()(2)两条直线垂直，则一定相交．()(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．()(4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．()(5)两条直线无公共点，则这两条直线平行．()(6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．()(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)×课堂互动探究题型一空间两直线位置关系的判定【典例1】已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；③如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；④如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[思路导引]两条直线的位置关系拓展到空间中有且仅有三种：相交、平行、异面．根据具体情况，具体分析．[解析]①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．[答案]A(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[针对训练1]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析]根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．[答案]①平行②异面③相交④异面题型二公理4及等角定理的应用【典例2】如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.[思路导引](1)由中位线定理可证MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.从而应用公理4，可证MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，于是命题可证．(2)利用等角定理可证．[证明](1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.(1)空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[针对训练2]长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.题型三异面直线所成的角【典例3】如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.[思路导引](1)由于CG∥BF，即∠EBF(或其补角)为异面直线CG与BE所成的角．(2)由于BD∥FH，故∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．[解](1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°θ180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.[针对训练3]如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝25，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．[解]如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，∵D是PC中点，F是AC中点，∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝12PA＝2，EF＝12BC＝5，∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.