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立体几何初步第一章§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理(第1课时)课前自主预习1．空间图形的基本关系(1)空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线．(2)空间点与平面的位置关系有两种：和．外点在平面内点在平面外2．空间图形的公理(1)公理1过不在同一条直线上的三点，(即可以确定一个平面)．推论1：确定一个平面．推论2：确定一个平面．推论3：确定一个平面．(2)公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么(即直线在平面内)．(3)公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条．有且只有一个平面一条直线和直线外一点两条相交直线两条平行直线这条直线在此平面内过该点的公共直线判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l在平面α内，可以记作：l∈α.()(2)点A在平面α外，可以记作：A∉α.()(3)三点确定一个平面．()(4)由公理3可知，两个不重合平面有两种位置关系：相交或平行．()(5)直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√课堂互动探究题型一用符号语言表示点、线、面之间的位置关系【典例1】如下图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．图(1)可以用符号表示为：_______________________.图(2)可以用符号表示为：_________________________.[思路导引]解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后再用符号语言写出．[解析]图(1)中，平面α与平面β相交于直线AB，直线a在平面α内，直线b在平面β内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB.所以，图(1)可以用符号表示为：α∩β＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB.图(2)中，平面α与平面β相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在α内但不在直线MN上，点C在平面β内但不在直线MN上．所以，图(2)可以用符号表示为：α∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN.[答案]α∩β＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥ABα∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN.(1)解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义，点表示元素，线、面都是点的集合．(2)符号语言是数学中常用的一种语言，熟练掌握它与自然语言图形语言之间的转化，是解决几何问题的基础．[针对训练1]如下图所示，请用符号语言表示其中的点、线、面的位置关系．[解](1)α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.(2)α∩β＝l，aα，bβ，a∩l＝P，b∩l＝P.题型二共面问题【典例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．[思路导引]先由两条相交直线确定一个平面，然后证明另外两条直线也在这个平面中，从而证明四条满足条件的直线共面．[证明]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．由公理2知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理2知cα.同理，dα，从而有a、b、c、d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．证明点线共面常用的方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．[针对训练2]如图所示，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面.[证明]∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.同理可证lβ.于是bα，lα，bβ，lβ，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面.题型三点共线问题【典例3】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线.[思路导引]只需证明点P、Q、R三点既在平面ABC中，又在平面α中，由公理3即可证明三点共线．[证明]证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．证明多点共线的方法(1)选择两点确定一条直线，然后证明其他点在这条直线上；(2)证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上．[针对训练3]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．[证明]由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.∵A1C平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上．又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线.题型四线共点问题【典例4】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，DA三线交于一点．[思路导引]先证两条直线相交一点，然后证明第三条直线也过那一点，从而证明三条直线共点．[证明]如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊12D1C，∴E，F，D1，C四点共面，∴D1F与CE相交，设交点为P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．[针对训练4]已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[证明]如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.