2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.2

1．3.2空间几何体的体积预习课本P56～60，思考并完成下列问题1．柱体、锥体、台体的体积公式各是什么？2．球的表面积与体积公式是什么？[新知初探]1．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：V柱体＝Sh.其中S为柱体的底面积，h为高．(2)锥体体积：V锥体＝13Sh.其中S为锥体的底面积，h为高．(3)台体体积：V台体＝13h(S＋SS′＋S′)．其中S，S′分别为台体的两底面面积，h为台体的高．[点睛](1)求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割．(2)柱体、锥体、台体之间体积公式的关系2．球的表面积与体积(1)球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝_______，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．(2)球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝.44πR243πR3[点睛](1)要求球的表面积，只需求出球的半径．(2)球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同底等高的三棱柱的体积是三棱锥的3倍．()(2)轴截面为边长为2的正方形的圆柱的体积为2π.()√√2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．答案：2π3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．答案：34．三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P­ABC的体积等于________．答案：3柱体、锥体的体积[典例](1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积．(2)如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2.求此四棱锥的体积．[解](1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．∵正三棱柱的面对角线AB1＝2.∠B1AB＝45°.∴AB＝2×sin45°＝2＝BB1.∴V三棱柱＝S△ABC·BB1＝34×(2)2×2＝62.(2)在△PAD中，PA＝AD＝1，PD＝2，∴PA2＋AD2＝PD2.∴PA⊥AD，又PA⊥CD，且AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD，从而PA是底面ABCD上的高，∴V四棱锥＝13S正方形ABCD·PA＝13×12×1＝13.(1)求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．(2)对于不规则的几何体，可以补形成规则的几何体、也可以分割成规则的几何体．[活学活用]如图所示，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与平面AC的距离为2，求该多面体的体积．解：如图，设G，H分别是AB，DC的中点，连结EG，EB，EC，EH，HG，HB，∵EF∥AB，EF＝12AB＝GB，∴四边形GBFE为平行四边形，则EG∥FB，同理可得EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH­FBC和棱锥E­AGHD.依题意VE­AGHD＝13SAGHD×2＝13×3×32×2＝3，而VEGH­FBC＝3VB­EGH＝3×12VE­BCHG＝32VE­AGHD＝92，∴V多面体＝VE­AGHD＋VEGH­FBC＝152.台体的体积[典例]圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？[解]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圆台的高h＝BC＝BD2－OD－AB2＝102－6－42＝46(cm)，V圆台＝13h(S＋SS′＋S′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm3)．(1)求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．(2)求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．[活学活用]已知正四棱台两底面边长为20cm和10cm，侧面积为780cm2，求其体积．解：如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，连结E1E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．S侧＝4×12×(10＋20)·E1E，即780＝60E1E，解得E1E＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5cm，OE＝12AB＝10cm，所以O1O＝E1E2－OE－O1E12＝132－52＝12(cm)．所以V＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm3).与球有关的组合问题题点一：球的外切圆柱问题1.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.答案：32题点二：球的内接长方体问题2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π题点三：球的内接正四面体问题3．若棱长为1的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则1＝2x，即x＝22.由题意2R＝3x＝3×22＝62，∴S球＝4πR2＝64π＝32π.题点四：球的内接圆锥问题4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.答案：932或332题点五：球的内接直棱柱问题5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝33a2＋12a2＝712a2，故S球＝4πR2＝73πa2.答案：73πa2(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝12a2＋b2＋c2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.