搜索
第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质学习目标核心素养1.借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2.会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学抽象核心素养.自主预习探新知1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有，是___________的．无限延展厚薄(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的的直观图作为平面的直观图(如图所示)．②字母表示平面通常用表示，也可以用平行四边形的______________________表示，如平面α、平面AC等．平行四边形正方形两个相对顶点的字母希腊字母α，β，γ，…(3)点、线、面位置关系的符号表示位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M∈平面AC点A1不在平面AC内A1平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA1不在平面AC内AA1平面AC2.平面的基本性质(1)平面的基本性质①公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：．两点A∈αB∈α⇒ABα②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条．用符号表示为：．③公理3：经过不在同一条直线上的三点，一个平面．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l直线有且只有(2)公理3的推论①推论1：经过，有且只有一个平面．②推论2：经过，有且只有一个平面．③推论3：经过，有且只有一个平面．两条平行直线一条直线和这条直线外的一点两条相交直线1．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么下列说法正确的是()A．lαB．lαC．l∩α＝MD．l∩α＝NA[∵M∈a，N∈b，aα，bα，∴M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知lα.故选A.]2．下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面D[A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]3．如图所示，用符号可表达为________．α∩β＝m，nα且m∩n＝A[由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，nα且m∩n＝A.]合作探究提素养三种语言的转换【例1】(1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．①②思路探究：根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．[解](1)①α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1)(2)图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．[答案](1)α∩β＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，Al，Bl点线共面问题【例2】已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．思路探究：法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合[证明]如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线lα.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．共线，共点问题[探究问题]1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？[提示]由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？[提示]交于一点．证明：如图所示，连结EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．【例3】如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．思路探究：先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.[证明]∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC，GE＝12AC.又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，FH＝25AC.∴FH∥GE，FH≠GE.∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF，GH，BD交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．[证明]如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC.QR平面BC1，O∈RQ⇒O∈平面BC1DP平面AC，O∈DP⇒O∈平面AC⇒O为平面BC1与平面AC的公共点又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三点共线．1．本节课的重点是理解平面的概念，会画一个平面并会表示平面，会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系．难点是掌握三个公理并会简单应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)理解平面的概念及空间图形画法要求．(2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法．(3)证明点、线共面的方法．(4)证明点共线、线共点的方法．3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．当堂达标固双基1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数()①A∈a，aα⇒Aα；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③Aa，aα⇒Aα；④A∈a，aα⇒Aα.A．1B．2C．3D．4D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，Aa，aα，但A∈α；④不正确，“Aα”表述错误．]2.如图所示，点A∈α，Bα，Cα，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．无数[因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．]3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．3[当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解]设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N平面ACD1，所以MN平面ACD1.同理，MN平面BDC1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．