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第二课时直线与平面垂直预习课本P35～40，思考并完成下列问题1．在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？过一点有几个平面与已知直线垂直？2．直线与平面垂直的判定定理是什么？直线与平面垂直的性质定理是什么？3．平面的斜线与平面所成的角的定义是什么？4．直线与平面所成的角范围是什么？[新知初探]1．直线和平面垂直的概念(1)线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的_________直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的______，垂线和平面的交点叫做______．(2)结论：过一点有且只有一条直线与已知平面，过一点______________平面与已知直线垂直．任意一条垂面垂足垂直有且只有一个2．直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线与一个平面内的都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥ml⊥n____________m⊂α，n⊂α⇒l⊥α.两条相交直线m∩n＝A3．直线与平面垂直的性质定理文字表述：如果两条直线垂直于平面，那么这两条直线平行．符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.同一个4．点面距离与线面距离(1)从平面外一点引平面的垂线，这个的距离，叫做这个点到平面的距离．(2)一条直线和一个平面平行，这条直线上_________________________，叫做这条直线和这个平面的距离．点和垂足之间任意一点到这个平面的距离[点睛]空间距离都可转化为点到平面的距离．5．直线与平面所成的角(1)斜线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的．(2)规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是______．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是______的角．(3)直线与平面所成的角的范围：.(4)画法：如图所示，斜线PQ与平面α所成的角是.锐角直角0°≤θ≤90°∠PQP10°[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c：若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.()(4)若直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n.()××√×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．答案：D3.如图，P为△ABC所在平面外一点．PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的________心．答案：垂4．若斜线段AB是它在平面α的射影长的2倍，则AB与平面α所成角为________．答案：60°直线与平面垂直的判定[典例]在三棱锥ABCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E.求证：CD⊥平面ABE.[证明]取AB中点M，连结MD，MC.∵BC＝AC，BD＝AD，∴CM⊥AB，DM⊥AB.又CM∩DM＝M，∴AB⊥平面CDM.∵CD⊂平面CDM，∴CD⊥AB.又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.答案：C2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于点O.求证：A1O⊥平面MBD.证明：连结A1M，MO，A1C1，在正方体中，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1O⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1O.在矩形AA1C1C中，A1O＝AA21＋AO2，OM＝MC2＋OC2，A1M＝A1C21＋C1M2.令正方体的棱长为1，则有A1M2＝A1O2＋OM2，∴∠A1OM＝90°，即A1O⊥OM.又BD∩OM＝O，BD，OM⊂平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.3．如图在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.直线与平面垂直性质的运用[典例]如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.[证明]如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.空间中证明两条直线平行的2种方法(1)利用线线平行定义：证两线无公共点；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)．[活学活用]1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是________．解析：l⊥ABl⊥AC⇒l⊥α，m⊥BCm⊥AC⇒m⊥α.由线面垂直的性质定理得m∥l.答案：平行2.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)取PD中点E，又N为PC中点，连结NE，AE，则NE∥CD，NE＝12CD.又∵AM∥CD，AM＝12CD，∴AM綊NE.∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面ADP.∵AE⊂平面ADP，∴CD⊥AE，∴MN⊥CD.(2)当∠PDA＝45°时，Rt△PAD为等腰直角三角形，则AE⊥PD.又MN∥AE，∴MN⊥PD，PD∩CD＝D.由(1)知MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.线面垂直的判定和性质定理的综合[典例]已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.[证明]如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB，∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB，∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面POQ.∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.又∵QR⊂平面PQRO，∴QR⊥AB.要证线线垂直，只需证线面垂直，只需考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所需结论．[活学活用]1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的个数是________．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.解析：对于①，若l⊥m，m⊂α，则l⊂α可能成立，l⊥α不一定成立，∴①不正确；对于②，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，正确．对于③，l与m可能异面，不一定平行，故③不正确；对于④，l与m可能相交，也可能异面，故④不正确．答案：12．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN⊥AB.证明：如图，连结AC，取AC中点E，连结ME，NE，则NE∥PA，∵PA⊥矩形ABCD，∴NE⊥平面ABCD.∴NE⊥AB.∵ME∥BC，BC⊥AB，∴ME⊥AB.又ME∩NE＝E，∴AB⊥平面MNE.∴MN⊥AB.直线与平面所成角[典例]三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．[解]如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连结AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心．∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝23×32a＝33a，∴cos∠SAO＝AOSA＝33，∴SA与底面ABC所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．[活学活用]在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连结A1D，设A1D∩AD1＝O，连结BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°