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1．2.2空间两条直线的位置关系预习课本P25～30，思考并完成下列问题1．公理4的内容是什么？2．空间两角的边对应平行，这两角一定相等吗？3．两直线异面的判定定理是什么？4．两异面直线所成的角是如何定义的？其范围是什么？[新知初探]1．空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内_____________平行直线在同一平面内_______异面直线不同在任何一个平面内_____有且只有一个没有没有2．平行公理(公理4)(1)平行于同一条直线的两条直线互相；这一性质叫做空间．(2)符号表示：a∥bb∥c⇒.3．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向，那么这两个角相等．平行平行线的传递性a∥c平行相同[点睛]对于等角定理中的条件“方向相同”：①若仅将它改成“方向均相反”，则这两个角相等；②若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补；③若缺少这一条件，则这两个角相等或互补．无论在平面内或在空间中均成立．4．异面直线判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定定理过平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线______________________，则l与AB是异面直线l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l5．异面直线所成的角①定义：a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b.我们把直线a′和b′所成的(或____)叫做异面直线a，b所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：.③当θ＝π2时，a与b互相垂直，记作.锐角直角0，π2a⊥b[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．()×√××2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°答案：D3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．答案：D4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°两直线位置关系的判定[典例]如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析](1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF()A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.答案：B2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交.答案：D平行公理、等角定理的应用[典例]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.[证明]如图所示，在正方体AC1中，取A1B1的中点M，连结BM，MF1，则BF＝A1M＝12AB.又BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连结DN，E1N，则A1N綊DE，∴四边形A1NDE为平行四边形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形，∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行且方向相反．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，∴∠EA1F＝∠E1CF1.1．证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．[活学活用]1．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连结GC1，GE.∵F为CC1中点，∴BG綊C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF綊GC1.又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，∴EG綊D1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1綊GC1，∴BF綊ED1.2.如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.异面直线所成角[典例]在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]法一：如图1所示，连结A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连结OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连结A1D，取A1D的中点H，连结HE，则HE綊12DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连结HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连结HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝54，图2∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法三：如图3，连结A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连结MN.∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连结DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.[活学活用]1.如图所示，正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．解析：连结B′D′，则E为B′D′的中点，连结AB′，则EF∥AB′.又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角，即∠B′AB＝45°.答案：45°2．如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：(1)异面直线AD1与DC1所成的角；(2)若E，F分别是AB，BC的中点，求异面直线EF与AD1所成的角．解：(1)连结AB1，B1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1.∴四边形ADC1B1是平行四边形．∴DC1∥AB1，∴∠D1AB1(或其补角)就是异面直线AD1与DC1所成的角，又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1为正三角形，∴∠D1AB1＝60°.即异面直线AD1与DC1所成的角是60°.(2)连结AC，CD1，则EF∥AC.∠D1AC即为异面直线EF与AD1所成的角(或其补角)．又AC＝AD1＝CD1，∴△ACD1为等边三角形．∴∠D1AC＝60°，即异面直线EF与AD1所成的角为60°.