2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1

1.2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质预习课本P21～24，思考并完成下列问题1．数学中的平面和生活中的平面有什么异同？如何表示平面？2．平面的性质的三个公理及推论有什么作用？[新知初探]1．平面的概念平面的认识：几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是__________的．无限延展2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成____，且横边长等于其邻边长的．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.平行四边形2倍虚线45°3．平面的基本性质公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈αB∈α⇒________(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内一个AB⊂α公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是______________的一条直线P∈αP∈β⇒___________________(1)判断两个平面是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题经过这个公共点α∩β＝l且P∈l公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理3经过________________________，有且只有一个平面.A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α公理3推论1经过一条直线和这条______的一点，有且只有一个平面A∉l⇒A和l确定一个平面α(1)确定一个平面的依据；(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面.不在同一直线上的三点直线外公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理3推论2经过两条____直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α公理3推论3经过两条____直线有且只有一个平面a//b⇒a，b确定一个平面α(1)确定一个平面的依据；(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面.相交平行[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面．()(2)经过一点的两条直线确定一个平面．()(3)经过一点的三条直线确定一个平面．()(4)平面α和平面β交于不共线的三点A，B，C.()×√××2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，a⊂α答案：C3．两个平面将空间分成________个部分．答案：3或44.如图所示的图中，用符号∈，∉，⊂，⊄填空：图中，A________平面ABC；A________平面BCD；BD________平面ABC.答案：∈∉⊄用数学语言、符号语言、图形语言表示点、线、面之间的基本关系[典例]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.(1)运用数学符号语言表示点、线、面之间的关系的关键是将点看成元素，直线和平面看成点的集合．(2)三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实虚线，利用图形解决问题也是一种策略．(3)画两个平面的交线的一般方法是找出两个平面的两个公共点，转化为找同一平面内两条直线的交点．[活学活用]1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．答案：B2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．平面的基本性质的应用题点一：点线共面问题1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.同理可证l⊂β.于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理3及其推论．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．题点二：点共线问题2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理2.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．题点三：三线共点问题3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．证明：如图，连结PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ＝13B1C1.又BC綊B1C1，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点．证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．