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第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标核心素养1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念．(重点)2.通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．(难点、易混点)3.了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成．(难点)1.借助圆柱、圆锥、圆台的形成过程得到对应定义来培养学生的数学抽象核心素养．2.借助具体的几何体来解决问题，提升学生的直观想象数学核心素养.自主预习探新知1．圆柱、圆锥和圆台的概念(1)圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、、______________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．垂直于底边的腰一直角边(2)与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做，无论旋转到什么位置，这条边都叫做．母线轴底面侧面2．球的定义及其有关的概念半圆绕着所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，围成的几何体叫做球体，如图所示．思考：球和球面的区别？提示：球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的几何体，而球面只指球的表面部分．球面它的直径3．旋转体定义图示旋转面一条绕它所在平面内的旋转所形成的曲面叫做旋转面旋转体封闭的围成的几何体称为旋转体旋转面平面曲线一条定直线1.思考辨析(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．()(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．()(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(3)用一个平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆锥与圆台．2．如图将图ABCD所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到右图所示的几何体的是哪一个图形()ABCD[答案]B3．下列说法中正确的是()A．半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面C．球面和球是同一个概念D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆B[半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．]4．下列各命题：①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；②球的任意截面都是圆面；③圆台所有母线的延长线交于一点．其中正确命题的序号是__________．(写出所有正确命题的序号)②③[圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．]合作探究提素养旋转体的结构特征【例1】下列说法：①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确说法的序号是________．思路探究：要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断．②[①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．]准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决．1．给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．②④[①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；②正确，符合圆锥母线的定义；③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．]简单组合体的结构特征【例2】(1)下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．其中正确的序号是__________．(2)已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？思路探究：(1)依据球的形成过程及相关概念判断．(2)梯形――→任一边为轴组合体――→空间想象结构特征②④[(1)作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．](2)[解]①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图(2)所示．③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(3)所示．④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(4)所示．(1)(2)(3)(4)关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决：2．如图所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．[解]旋转后的图形草图分别如图(a)(b)所示，(a)是由圆锥、圆柱组合而成的．(b)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．有关旋转体的计算问题[探究问题]1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？[提示]它们平行于底面的截面都是圆面．它们的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．2．圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？[提示]它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥．【例3】圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积．思路探究：画出圆台，将圆台还原成圆锥，利用比例关系求截面的半径即可．[解]如图所示，将圆台还原成圆锥，其中P为圆锥顶点，CD、AB、EF分别为圆台的上、下底面以及截面圆的半径．显然CD∥EF∥AB，所以PDPB＝CDAB＝612＝12，所以PD＝DB＝12PB.又DFFB＝2，所以DF＝23DB＝13PB.所以PF＝PD＋DF＝56PB.所以EFAB＝PFPB＝56，所以EF＝56AB＝10，所以截面的面积为π·EF2＝π·102＝100π.圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解．3．圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A，则绳长最短为__________．82[如图所示，将圆锥沿过A点的母线展开，设A点展开后另一点为A′点，则绳子最短长度为线段AA′的长度．因为底面半径为2，所以孤长AA︵′＝2π×2＝4π.因为展开图对应的扇形半径R＝8，所以圆心角α＝4π8＝π2，即△A′OA为直角三角形．所以AA′＝82＋82＝82.]1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．(2)简单组合体的构成形式及识别方法．3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错．当堂达标固双基1．以下说法正确的是()A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等A[A正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积；B错误，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱；C错误，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体；D错误，圆台的上、下底面一定平行．]2．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱B[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为________．20[由题意可知，该圆柱的轴截面的面积为5×2×2＝20.]4．如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？(1)(2)[解]旋转后的图形草图分别如图①②所示．①②其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．