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1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台预习课本P5～8，思考并完成下列问题1．棱柱、棱锥、棱台有什么结构特征？结合生活中的几何体举例说明．2．如何画出棱柱、棱锥、棱台的示意图？空间图形中的实线和虚线分别表示什么？3．棱柱、棱锥、棱台有什么联系？[新知初探]1．棱柱、棱锥、棱台的概念名称棱柱棱锥棱台定义由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做_____当棱柱的一个底面_____________时得到的几何体叫做棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____________________叫做棱台收缩为一个点棱柱底面和截面之间的部分名称棱柱棱锥棱台相关概念平移起止位置的两个面叫做棱柱的_______，简称底；其余各面叫做棱柱的_____；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的_____；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的____由棱柱的一个底面收缩而成的点做棱锥的_____.相邻侧面的公共边叫做棱锥的_____.有_________的三角形叫做棱锥的______原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_______________，其余各面叫做棱台的_______，底面与侧面的公共点叫做棱台的_____，相邻侧面的公共边叫做棱台的______底面侧面侧棱顶点顶点侧棱公共顶点侧面下底面和上底面侧面顶点侧棱名称棱柱棱锥棱台图形结构特征①两个底面__________；②侧棱都_________；③棱柱的各侧棱______，各侧面都是___________①有一个面(底面)是______；②其余各面(侧面)是_________________________棱台的侧棱的延长线____________互相平行互相平行相等平行四边形多边形有一个公共顶点的三角形相交于一点2.多面体的概念由若干个___________围成的几何体叫做多面体．多面体有几个面就称为几面体．如三棱锥是体．食盐晶体是体．平面多边形四面六面[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形．()(2)用一个平行于棱锥的底面的平面去截棱锥得到的几何体是棱台．()√×2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．答案：B3．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数是________．解析：三棱锥ABCD的每个面都可以作为三棱锥的底面，有4个．答案：4多面体的概念及应用[典例]下列说法正确的是()A．棱柱的棱都相互平行且相等B．在棱锥中用一个平面截去一个小棱锥，剩下的部分就是一个棱台C．面数最少的多面体一定是三棱锥D．五面体是三棱柱或是三棱台[解析]A错．在多面体中，相邻面的交线都叫棱，而在棱柱中相邻侧面的交线叫侧棱，应是棱柱的侧棱都相互平行且相等．B错．截面必须与底面平行才能截出棱台．C正确．多面体至少有四个面，而四面体就是三棱锥．D错．四棱锥也是五面体．[答案]C判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣柱、锥、台的结构特征，判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．[活学活用]1．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么下列关于它的三个侧面的说法正确的是()A．至多有一个是直角三角形B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形解析：在如图所示的长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形．答案：C2．如图所示，在下列条件中，能推断这个几何体是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．A1B1＝AB，B1C1＝BC，A1C1＝AC解析：因为台体是由锥体被平行于底面的平面所截而得到的，所以要使这个几何体为台体，只需A1B1∥AB，B1C1∥BC，A1C1∥AC，对应边的比值相等且不为1，由所给条件知C满足.答案：C棱柱、棱锥、棱台的画法[典例]画一个三棱柱和一个四棱台．[解](1)画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图1所示)．图1(2)画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去(如图2所示)．图2平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线．在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线．作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确．[活学活用]画一个六面体．(1)使它是一个四棱柱．(2)使它是由两个三棱锥组成．(3)使它是五棱锥．解：如图所示．(1)是一个四棱柱．(2)是一个由两个三棱锥组成的几何体．(3)是一个五棱锥．空间问题与平面问题的转化[典例]如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．[解]蚂蚁爬过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，在图1中AD＝AC2＋CD2＝122＋52＝13，在图2中AD＝AB2＋BD2＝72＋102＝149，∵14913，∴蚂蚁爬过的最短路程为149.求多面体上不同面上的最短路径时，一般根据其展开图转化为平面上两点之间的距离问题，这也是解决立体几何问题常用的方法．将空间问题“降维”转化成平面问题，即可实现未知问题向已知问题的转化．[活学活用]水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．9C．快D．乐解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与9相对，0与快相对，所以下面是9.答案：B