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数学必修②·人教A版新课标导学第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图把几何体画在纸上．1．投影定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的________，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做__________，把留下物体影子的屏幕叫做__________分类中心投影光由________向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于________平行投影在一束________光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线相互________.在平行投影中，投影线________着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影影子投影线投影面一点一点平行平行正对[归纳总结]当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段．(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线．(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长．(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等．2．三视图分类正视图光线从几何体的______面向______面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图侧视图光线从几何体的______面向______面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图俯视图光线从几何体的______面向______面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图说明几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的__________，三视图是______投影特征一个几何体的侧视图和正视图________一样，俯视图与正视图________一样，侧视图与俯视图________一样前后左右上下三视图正高度长度宽度[归纳总结]三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样；侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等．1．下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．3B[解析]由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确．2．下列说法错误的是()A．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样[解析]一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，故选项D错误．D3．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__________.(填入所有可能的几何体的编号)①三棱锥；②四棱锥；③四棱柱；④圆锥；⑤圆柱．[解析]三棱锥、四棱锥、圆锥的正视图可能是一个三角形．①②④4．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别是______和______.[解析]三棱柱的高同侧视图的高为2，侧视图的宽恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.24互动探究学案如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图2中的__________.命题方向1⇨对投影的理解①②③典例1[思路分析]抓住已知图形的端点，确定端点在投影面的位置．进而确定投影的图形．[解析]要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图2①；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图2②；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图2③.『规律方法』画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的正投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．〔跟踪练习1〕如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断中正确的是________(填序号)．①四边形BFD′E在底面ABCD内的正投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的正投影是全等的平行四边形．①③[解析]①四边形BFD′E的四个顶点B，F，D′，E在底面ABCD内的正投影分别是点B，C，D，A，故其在底面ABCD内的正投影是正方形，故①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，可知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形，故②错误；③结合②知四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的正投影是两个全等的平行四边形，从而③正确．画出图中正四棱锥的三视图．(尺寸不作严格要求)[解析]正四棱锥的三视图如图所示：命题方向2⇨简单几何体的三视图典例2『规律方法』画三视图应遵循的原则和注意事项：(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．〔跟踪练习2〕画出下列几何体的三视图．[解析]图①为正六棱柱，正视图和侧视图都是矩形，正视图中有两条竖线，侧视图中有一条竖线，俯视图是正六边形．图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图．如下图所示，画出下列组合体的三视图．[思路分析]图①是一个长方体挖去一个四棱柱，图②是上下叠起且轴线重合的三个圆柱组成的几何体．命题方向3⇨简单组合体的三视图典例3[解析]三视图如下图①②所示．『规律方法』画组合体的三视图时应注意它是由哪些简单几何体组成的，认清相交面、相交线的位置．〔跟踪练习3〕画出如图所示几何体的三视图．[解析]①此几何体的三视图如图所示：②此几何体的三视图如图所示：1．识画三视图的关键是弄清方位，确定前后，左右位置关系，抓住垂直关系．2．由三视图还原空间几何体的策略(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体，另外需注意非正常位置放置的常见几何体的三视图特征．(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．空间想象能力——识图、画图、用图3．由三视图还原空间几何体的步骤根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．典例4[解析]图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：〔跟踪练习4〕(新课标全国卷Ⅱ改编)如图所示，画四面体AB1CD1三视图中的主视图时，以面AA1D1D为投影面，则得到的主视图可以为()A[解析]显然AB1，AC，B1D1，CD1在面AA1D1D上的正投影分别为AA1，AD，A1D1，DD1，可知主视图的外轮廓为一个正方形，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．只有A符合．画出如图所示几何体的正视图和俯视图．[错解]正视图和俯视图，如图所示．[错因分析]正视图的上边矩形中缺少几何体中间小圆柱的轮廓线(用虚线表示)；俯视图中的三个圆都应画为实线，因为三个圆都是可见的．[正解]正视图与俯视图如图所示．虚线漏画或画为实线典例51．下列图形中采用了中心投影画法的是()[解析]选项A中采用了中心投影画法．A2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[解析]①的三个视图都相同，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图都不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．故选D.D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台[解析]由三视图可知，该几何体是圆台．D4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()B[解析]由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.