2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形章末复习与总结课件 新人教A版必修5

章末复习与总结解三角形与平面向量的综合应用在高考中解三角形问题常与平面向量知识结合(主要是数量积)在一起进行考查，判断三角形形状或结合正弦、余弦定理求值，这也是高考命题的新趋势．【例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1.(1)求证：A＝B；(2)求边长c的值；(3)若|AB→＋AC→|＝6，求△ABC的面积．[解](1)证明：∵AB→·AC→＝BA→·BC→，∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB．由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，∴sin(A－B)＝0.∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，即A＝B.(2)∵AB→·AC→＝1，∴bccosA＝1.由余弦定理，得bc×b2＋c2－a22bc＝1，即b2＋c2－a2＝2.∵由(1)，得a＝b，∴c2＝2.∴c＝2.(3)∵|AB→＋AC→|＝6，∴|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→＝6，即c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4.∵c2＝2，∴b2＝2，b＝2.∴△ABC为正三角形．∴S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.[方法总结](1)求角的问题一般用正弦定理把边转化为角再求解；求边的问题一般用余弦定理把角转化为边再求解．(2)当△ABC为正三角形时，若边长为a，则S△ABC＝34a2.1．转化与化归思想在解三角形中的应用解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题A转化为另一个新问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的问题，且问题B的解决可以得到原问题A的解答，这就是转化与化归思想．在解三角形时，常用正弦定理或余弦定理“化边为角”或“化角为边”，从而发现三角形中各元素之间的关系．在实际应用中，也常建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决．因此要理解并领悟转化与化归的数学思想，以便应用到要解决的问题中去．【例1】在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.[证明][证法一：化角为边]∵左边＝a－ca2＋c2－b22acb－cb2＋c2－a22bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2RsinB2RsinA＝sinBsinA＝右边．∴原式得证．[证法二：化边为角]∵左边＝2RsinA－2RsinCcosB2RsinB－2RsinCcosA＝sinA－sinCcosBsinB－sinCcosA＝sinB＋C－sinCcosBsinA＋C－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边．∴原式得证.[方法总结]遇到此类证明问题，可以化边为角，也可以化角为边，左右统一得证；也可以化归到同一个式子，获得证明.2.分类讨论思想在解三角形中的应用分类讨论思想是高中数学四种重要思想方法之一(数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化化归思想)，在解决问题时由于条件的变化，不能用同一种标准或同一种方法去解决，问题的结果有多种情况，这就需要对条件分情况讨论，这就是分类讨论思想．本章中在运用正弦定理，已知两边与其中一边的对角解三角形时常运用分类讨论思想判断三角形解的情况．【例2】在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，A＝30°，b＝x(x0)，判断三角形解的情况．[解]a＝4，b＝x，A＝30°.当x≤4时，由大边对大角知B为锐角，sinB＝xsinAa＝x4×sin30°≤12，此时△ABC有一解；当4x8时，sinB＝xsinAa＝x4×sin30°＝x8，得12sinB1，此时B不一定为锐角，所以B有两种结果，此时△ABC有两解；当x＝8时，sinB＝1，得B＝90°，此时△ABC有一解；当x8时，sinB＝xsinAa1，B无解，△ABC无解．综上，当x≤4或x＝8时，△ABC有一解；当4x8时，△ABC有两解；当x8时，△ABC无解.[方法总结]对已知两边和其中一边的对角的三角形解的情况要熟练掌握，当其中一边不确定时，要分类讨论.易错点1忽略大边对大角致错【例1】在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，求角B的大小．[错解]由正弦定理，得sinB＝b·sinAa＝2×sin60°23＝12.∵0°B180°，∴B＝30°或B＝150°.[辨析]错解中忽略了大边对大角，即ab，则AB，∴B为锐角．[正解]由正弦定理得sinB＝b·sinAa＝12，又ab，∴AB,0°B180°，∴B＝30°.易错点2忽略三角形的条件致错【例2】在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．[错解]∵△ABC是钝角三角形，且C是最大角，∴C90°，∴cosC0，∴cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴a2＋b2－c20，即1＋4－t20，∴t25.∵t0，∴t5，即t的取值范围为(5，＋∞)．[辨析]错解中忽略了三角形中，两边之和大于第三边而导致错误．[正解]∵a、b、c是△ABC的三边，∴ca＋b，∴t1＋2＝3.∵△ABC是钝角三角形，且C是最大角，∴90°C180°.∴cosC0，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝5－t240，∴t25.∵t0，∴t5，∴t的取值范围是(5，3)．