2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形章末复习课课件 新人教B版必修5

第一章解三角形章末复习课利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．[解]在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，由余弦定理，得cosC＝BC2＋AC2－AB22BC×AC＝32，∴sinC＝12.在△ADC中，由正弦定理，得ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝222×12＝2.解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知∠A、∠B和c，由∠A＋∠B＋∠C＝π求∠C，由正弦定理求a、b．(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和∠C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用∠A＋∠B＋∠C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和∠A，应先用正弦定理求∠B，由∠A＋∠B＋∠C＝π求∠C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求∠A、∠B、∠C．1．如图所示，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解](1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝ABsin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC＝7.三角变换与解三角形的综合问题命题角度1三角形形状的判断【例2】在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[解]法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC．∵∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC．展开整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°∠C120°，∴∠C＋30°＝90°.∴∠C＝60°，则∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB．∵∠B＝60°，b＝a＋c2，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，化简得(a－c)2＝0.∴a＝c．又∠B＝60°，∴a＝b＝c．∴△ABC为等边三角形．命题角度2三角形边、角、面积的求解【例3】△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB．(1)求∠B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．[解]由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．又∠A＝π－(∠B＋∠C)，∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC≠0，∴cosB＝sinB且∠B为三角形内角，∴∠B＝π4.(2)S△ABC＝12acsinB＝24ac，由正弦定理知a＝bsinAsinB＝222×sinA＝22sinA，同理，c＝22sinC，∴S△ABC＝24×22sinA×22sinC＝22sinAsinC＝22sinAsin3π4－A＝22sinAsin3π4cosA－cos3π4sinA＝2(sinAcosA＋sin2A)＝sin2A＋1－cos2A＝2sin2A－π4＋1，∴当2∠A－π4＝π2，即∠A＝3π8时，S△ABC有最大值2＋1.该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．2．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若a＝2，∠C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.[解]因为cosB＝2cos2B2－1＝35，故∠B为锐角，所以sinB＝45，所以sinA＝sin(π－B－C)＝sinB＋π4＝sinBcosπ4＋cosBsinπ4＝7210.由正弦定理，得c＝asinCsinA＝107，所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4】如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究]假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2x＝－34舍去.故AC＝28海里，BC＝20海里．根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．3．甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解]设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时．①当0≤t2时，如图①，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，所以PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos120°＝20－10t2＋8t2－2×20－10t×8t×－12＝84t2－240t＋400＝221t2－60t＋100；②当t＝2时，PQ＝8×2＝16；③当t2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．