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第一章解三角形1.2应用举例第2课时角度问题学习目标核心素养1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)．通过研究利用正弦定理和余弦定理在解决与角度有关的实际问题，提升学生的数学建模与数学运算素养.自主预习探新知1．方位角从指北方向______转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：__________________．顺时针[0°，360°)2．视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的____，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度．夹角思考：方位角的范围为什么不是(0，π)?[提示]方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0，2π)．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°B[由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.]D[如图所示：∠BAC＝130°.]2．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则A、C两地的距离为________公里．7[如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×33×2·cos150°＝49，AC＝7.所以A、C两地的距离为7公里．]合作探究提素养角度问题【例1】(1)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为23m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()A．33，60°B．3，60°C．3，30°D．33，30°(1)D(2)B[(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝23m，则AE＝AB－CD2＝2m，∴tan∠DAE＝DEAE＝232＝3，∴∠DAE＝60°.]测量角度问题画示意图的基本步骤1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.60°203[如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝203，∠COY＝30°＋30°＝60°.]求航向的角度【例2】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？②在△ABC中，能求出BC与∠ABC吗？③在△BCD中，如何求出∠BCD?[解]设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26×32＝22，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、余弦定理皆可．2．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少nmile?[解]如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为xnmile，则AC＝3x，由正弦定理得sinθ＝BC·sin120°AC＝12，而θ60°，∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.求解速度问题[探究问题]1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4km，从B到C，方位角是120°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是3km，试画出示意图．[提示]如图所示：2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？[提示]在上图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝47，则此人的最小速度为v＝4712＝87(km/h)．3．在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以167km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？[提示]投递员到达C点的时间为t1＝4＋824＝12(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝47167＝14(小时)＝15分钟；由于3015＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．【例3】如图所示，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．[解]设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×－12，即128t2－60t－27＝0，解得t＝34或t＝－932(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，得sin∠BAC＝BC·sin∠ABCAC＝5314，则cos∠BAC＝1－75142＝1114.又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝112－5628.(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．[解]设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠CAB，即28tsin135°＝xtsin30°.所以x＝28×sin30°sin135°＝28×1222＝142(海里每小时)．故乙船的速度为142海里每小时．解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．当堂达标固双基1．判断正误(1)如图所示，该角可以说成北偏东110°.()(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，π2.()(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．()[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)说成南偏东70°或东偏南20°.(2)方位角的范围是[0，2π)．2．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′A[由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.]A．北偏东5°B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()B[由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]4．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________．3－1[由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°，在△ABD中，根据正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即50sin30°＝BDsin15°，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD中，由正弦定理得CD∠DBC＝BDsin∠BCD，即25sin45°＝25（6－2）sin∠BCD，解得sin∠BCD＝3－1.所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝3－1.]