2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时 解三角形的实际应用举例

1．2应用举例第一课时解三角形的实际应用举例自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．能够根据题意，作出准确的示意图，将实际问题转化为解三角形问题．2．能够熟练地运用正、余弦定理解决实际问题中的高度、距离、角度等问题.1．有关名词、术语(1)铅直平面：指与___________垂直的平面．(2)仰角与俯角：指在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角，视线在水平线___________的角叫仰角，视线在水平线___________的角叫俯角．如图(1)所示．(3)方位角：指北方向线作为0°，顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角．如图(2)所示．海平面上方下方(4)方向角：相对于某一__________的水平角，如北偏东60°.(5)坡角与坡度：坡面与___________的夹角叫坡角，坡面的___________与____________的比叫做坡度(或坡比)．设坡角为α，坡度为i，则i＝______＝___________.如图(3)所示．正方向水平面铅直高度h水平宽度lhltanα2．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤(1)根据题意画出___________；(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的___________和未知元素；(3)选用________________进行求解，并注意运算的正确性；(4)给出答案．示意图已知元素正、余弦定理1．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A．东偏北46°B．东偏北44°C．南偏西44°D．西偏南44°解析：如图所示，∠AQP＝44°，则点Q在P点的南偏西44°，故选C.答案：C2．有三座小山A，B，C，其中A，B相距10km，从A望C和B成60°角，从B望C和A成75°角，则B和C的距离是()A．26kmB．36kmC．56kmD．66km解析：由题可知A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝180°－60°－75°＝45°，由BCsinA＝ABsinC，得BC＝AB·sinAsinC＝10×3222＝56，故选C.答案：C3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，AB两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC中，由题可知∠BCA＝120°，AC＝2，AB＝3，由余弦定理，可知AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos120°，即9＝4＋BC2＋2BC，∴BC2＋2BC－5＝0.解得BC＝－1－6(舍去)或BC＝－1＋6.答案：－1＋6典例精析规律总结课堂互动探究(2018·甘肃天水月考)要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m，由此可得宽为(精确到1m)()A．170mB．98mC．95mD．86m【解析】由题可知在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠BCA＝60°，由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠CAB，∴BC＝AB·sin∠CABsin∠BCA＝120×2232＝406，∴河宽为BCsin∠CBA＝406sin75°＝406×6＋24≈95.故选C.【答案】C【知识点拨】测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离或测量两个不可到达的点之间的距离问题，实际上是解三角形问题，看清已知条件应用正、余弦定理可解决问题．A，B两地相距200m，且A地在B地的正东方．一人在A地测得建筑C在正北方，建筑D在北偏西60°；在B地测得建筑C在北偏东45°，建筑D在北偏西15°，则两建筑C和D之间的距离为()A．2002mB．1007mC．1006mD．100(3－1)m解析：如图所示，在△ABC中，可知∠CBA＝45°，∠BAC＝90°，AB＝200m.∴BC＝2002m，在△ADB中，∠DAB＝30°，∠DBA＝105°，∴∠ADB＝45°，则ABsin45°＝DBsin30°，∴DB＝1002m，∴在△DCB中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos60°＝(1002)2＋(2002)2－2×1002×2002×12＝(1002)2×3.∴DC＝1006m，故选C.答案：C如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°.求旗杆的高度．【分析】设出旗杆的高度为h，△AOP与△BOP都为直角三角形，可用h表示出AO与OB，在△AOB中，用余弦定理列式即可求解．【解】设OP＝h，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°，AB＝20m.则在△AOP中，由于OP⊥OA，∴OA＝OPtan30°＝3h，在△BOP中，∠BOP＝90°，且∠PBO＝45°，∴OB＝OP＝h，在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝AO2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即202＝3h2＋h2－23h2·cos60°.∴h2＝4004－3，即h＝204－3m，∴旗杆的高度为h＝204－3m.【知识点拨】题目中出现的三角形较多，应注意根据已知条件找出角度的关系，通过已知量表示出未知量，化归到一个三角形中利用正、余弦定理解决．(2018·湖南宁远期中)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测∠BDC＝45°，则塔AB的高度为()A．10米B．102米C．103米D．106米解析：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∴∠CBD＝180°－45°－105°＝30°，DC＝10，由正弦定理，得BCsin∠BDC＝DCsin∠DBC，∴BC＝DC·sin∠BDCsin∠DBC＝10×2212＝102，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝102，∴∠BAC＝30°，∴ABsin60°＝BCsin30°，∴AB＝BCsin60°sin30°＝106.故选D.答案：D甲船在A处发现乙船在方位角45°与A相距10nmile的C处正以20nmile/h的速度向南偏东75°方向航行，已知甲船的速度是203nmile/h.问：甲船沿什么方向航行，需多长时间才能与乙船相遇？【分析】如图所示，若设甲、乙两船在B处相遇，所需时间为th，这样由题设知，AC＝10nmile，AB＝203tnmile，BC＝20tnmile，∠ACB＝45°＋75°＝120°，解△ABC即可．【解】设甲船沿方位角45°＋θ方向航行，需th才能与乙船在B处相遇．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即(203t)2＝102＋(20t)2－2×10×20tcos120°，即8t2－2t－1＝0，解得t＝12或t＝－14(舍去)．∴BC＝20×12＝10(nmile)，∴AC＝BC，又∠ACB＝120°，∴θ＝30°.∴甲船航行的方位角为45°＋30°＝75°.故甲船沿方位角为75°的方向，航行半小时即可与乙船相遇．【知识点拨】解决本题的关键在于依题意构造△ABC，利用相遇时两船航行的时间相等，应用余弦定理列出方程，即可求出时间．解三角形应用问题实际上就是把已知量按方程思想进行处理，解题时选择一个比较容易解的方程，使解题过程简捷．(2019·河南鲁山月考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(2＋6)nmile/hB．20(6－2)nmile/hC．20(6＋3)nmile/hD．20(6－3)nmile/h解析：由题意∠NMS＝15°＋30°＝45°，∠SNM＝45°＋60°＝105°，由正弦定理得MSsin105°＝MNsin30°，所以MN＝20sin30°sin105°＝10(6－2)，速度为106－212＝20(6－2)nmile/h，故选B.答案：B平面内三个力F1，F2，F3作用于同一点且处于平衡状态．已知F1，F2的大小分别为1N、6＋22N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小．【分析】由向量的加法法则与解三角形知识求解．【解】如图所示，设F1与F2的合力为F，则F3＝－F.∵∠BOC＝45°，∴∠ABO＝135°.在△OBA中，由余弦定理得|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|·cos135°＝4＋23.∴|F|＝1＋3，即|F3|＝3＋1.又由正弦定理得sin∠BOA＝|F2|sin∠ABO|F|＝12.∴∠BOA＝30°.∴∠BOD＝150°.故F3的大小为(3＋1)N，F1与F3的夹角为150°.【知识点拨】对于力、速度等的合成与分解，可利用平面向量的三角形法则或平行四边形法则．在求解时，要放在三角形中，选择正、余弦定理解决．注意三角形的内角与向量的夹角是否一致．如图所示，支座A受两个力作用，已知|F1|＝40N，与水平线成θ角，|F2|＝70N，沿水平方向，两个力的合力|F|＝100N，求角θ的余弦值及合力F与水平线的夹角β的余弦值．解：因为F＝F1＋F2，作▱ABCD，则AC＝|F|＝100N，AB＝|F1|＝40N，AD＝|F2|＝70N，则DC＝AB＝40N，∠ADC＝∠ABC＝180°－θ.在△ADC中，由余弦定理得cosβ＝AC2＋AD2－DC22AC·AD＝0.95，cos(180°－θ)＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝－0.625.∴cosθ＝0.625.即学即练稳操胜券基础知识达标1．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距10m，则树干原来的高度是()A．(20＋103)mB．(10＋203)mC．(20＋203)mD．(10＋103)m解析：如图所示，BC＝10m.∴AB＝BCtan30°＝103m，AC＝BCsin30°＝20m.∴AB＋AC＝(20＋103)m.答案：A2．(2018·云南沾益质检)某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为83海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°，则C与D的距离为()A．20海里B．83海里C．232海里D．24海里解析：如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，AB＝126，∴∠DBA＝180°－60°－75°＝45°，∴AD＝AB·sin45°sin60°＝24，在△ACD中，AC＝83，∠CAD＝30°，∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD＝64×3＋242－2×83×24×32＝192，∴CD＝83，故选B.答案：B3．(2018·河北鸡泽月考)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析：由题可知，在△ABC中，AC＝20t，AB＝40，∠CAB＝45°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos45°＝1600＋400t2－8002t，则1600＋400t2－8002t900，即4t2－82t＋70，∴t1,2＝82±64×2－4×4×72×4＝22±12，∴t1＝22－12，t2＝22＋12，∴|t2－t1|＝22＋12－22－12＝1，∴B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B.答案：B4．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为________．解析：如图所示，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠B