2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算课件

1.2应用举例第三课时三角形中的几何计算登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．学会利用三角形中的隐含条件．2．掌握用两边夹角表示的三角形面积公式．3．学会根据条件特点选择正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点|三角形面积公式阅读教材P16～P18，完成下列问题．‖知识梳理‖一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即S△ABC＝12absinC＝1____________＝2________．12bcsinA12acsinB‖思考辨析‖判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知R为△ABC外接圆的半径，则其面积S＝abc4R.()(2)已知r为△ABC内切圆的半径，则其面积S＝12r(a＋b＋c)．()答案：(1)√(2)√‖小试身手‖1．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为_____________．解析：由余弦定理，得72＝52＋BC2－2×5×BCcosB，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．所以S△ABC＝12×AB×BC×sin120°＝1534.答案：15342．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于_____________．解析：因为△ABC的面积为3，所以12×BC×AC×sinC＝3，即AC＝3sin60°＝2.又BC＝2，C＝60°，所以△ABC是正三角形，所以AB＝BC＝AC＝2.答案：2剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，若ccosB＝bcosC，且cosA＝23，求sinB的值．[解]由ccosB＝bcosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝sinBcosC，故sin(B－C)＝0，∵0Bπ，0Cπ，∴－πB－Cπ，∴B－C＝0，即B＝C，故b＝c.∵cosA＝23，∴由余弦定理得3a2＝2b2，故3a＝2b.又sinA＝53，由正弦定理asinA＝bsinB，∴sinB＝306.[方法总结](1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.1．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解三角形．解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，则2＝3＋c2－23×c×22，即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.当c＝6＋22时，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°A180°，∴A＝60°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(120°＋45°)＝15°.故c＝6＋22，A＝60°，C＝75°，或c＝6－22，A＝120°，C＝15°.2．在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cosA＋CsinAcosA.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围．解：(1)由余弦定理可得，a2＋c2－b2＝2accosB，⇒－2accosBac＝cosπ－BsinAcosA，∴sin2A＝1且0°A90°⇒A＝45°.(2)B＋C＝135°，0°B90°，0°C90°⇒45°C90°，又bsinB＝csinC＝asinA＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，bc＝2sin(135°－C)·2sinC＝2sin(2C－45°)＋2，45°2C－45°135°⇒22sin(2C－45°)≤1，∴bc∈(22，2＋2]．题型二三角形的面积问题多维探究三角形的面积问题，常见的角度有：1．求三角形面积．2．涉及三角形面积的条件转化．角度1求三角形面积【例2】(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为_____________．[解析]由正弦定理知bsinC＋csinB＝4asinBsinC可化为sinBsinC＋sinBsinC＝4sinAsinBsinC.∵sinBsinC≠0，∴sinA＝12.∵b2＋c2－a2＝8，∴2bccosA＝8，则A为锐角，∴cosA＝32，则bc＝83，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×83×12＝233.[答案]233角度2涉及三角形面积的条件转化【例3】(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B．π3C.π4D．π6[解析]由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab，∴a2＋b2－c2＝2abcosC，∴S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC4，∴tanC＝1.又0Cπ，∴C＝π4.[答案]C[方法总结]求三角形的面积或条件中有三角形的面积的问题，要先考虑选择表达面积的公式S△＝12×底×高，S△＝12absinC等.3．在△ABC中，如果a＝sin10°，b＝sin50°，C＝70°，那么△ABC的面积等于()A.164B．132C.116D．18解析：选C由题意，得S△ABC＝12absinC＝12sin10°sin50°sin70°＝12cos80°cos40°cos20°＝sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝sin160°16sin20°＝116.故选C.4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cosA等于()A.45B．－45C.1517D．－1517解析：选D由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bc14sinA－1，由余弦定理可得14sinA－1＝cosA，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－1517或cosA＝－1(舍去)．故选D.题型三正弦、余弦定理与三角恒等变换的综合应用【例4】在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.求：(1)AB的值；(2)sin(2A＋C)的值．[解](1)根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4＋1－2×2×1×34＝2，所以AB＝2.(2)由cosC＝34，且0Cπ，得sinC＝1－cos2C＝74.由正弦定理，得sinA＝BCsinCAB＝148.因为ACBC，所以BA，A为锐角．则cosA＝1－sin2A＝528.又sin2A＝2sinAcosA＝5716，且cos2A＝1－2sin2A＝916，则sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝378.[方法总结]正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质.5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB．(1)求cosB的值；(2)若BA→·BC→＝2，且b＝22，求a和c的值．解：(1)由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆半径，则2RsinBcosC＝6RsinAcosB－2RsinCcosB，故sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，可得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，即sin(B＋C)＝3sinAcosB，可得sinA＝3sinAcosB．又sinA≠0，因此cosB＝13.(2)由BA→·BC→＝2，得accosB＝2.由(1)知cosB＝13，故ac＝6，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，即a＝c，∴a＝c＝6.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．记牢三组面积公式(1)S△＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．(2)S△＝abc4R(R为外接圆半径)．(3)S△＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．2．掌握4类隐含结论“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由A＋B＋C＝180°可得sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.(2)由三角形的几何性质可得acosC＋ccosA＝b，bcosC＋ccosB＝a，acosB＋bcosA＝c.(3)由大边对大角可得sinAsinB⇔AB.(4)由锐角△ABC可得任意两内角之和大于π2，进而可得sinAcosB．「自测检评」1．△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的长等于()A．5B．6C．7D．8解析：选C如图，由题意得a＋b＋c＝20，12bcsin60°＝103，a2＝b2＋c2－2bccos60°，则bc＝40，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，∴a＝7.故选C.2．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积等于()A.152B．15C．2D．3解析：选A因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bccosA，解得c＝2，b＝4，因为cosA＝78，所以sinA＝158，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×4×2×158＝152.故选A.3．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝3，则△ABC外接圆的半径为()A.3B．2C．23D．4解析：选B∵S＝12bcsinA，∴3＝12×2csin120°，∴c＝2，∴a＝b2＋c2－2bccosA＝4＋4－2×2×2×－12＝23，设△ABC外接圆的半径为R，∴2R＝asinA＝2332＝4，∴R＝2.故选B.4．在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.证明：∵右边＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝sinAsinC·cosB－sinBsinC·cosA＝ac·a2＋c2－b22ac－bc·b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝a2－b2c2＝左边．∴原式得证．5．在△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝3，△ABC的面积S△ABC＝32，求边b的长和B的大小．解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°.∵S△ABC＝12bcsinA＝32，sinA＝32，∴bc＝2.①又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2×2×12，即b2＋c2＝5.②解①②可得b＝1或2.由正弦定理知asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝b2.当b＝1时，sinB＝12，B＝30°；当b＝2时，sinB＝1，B＝90°.