2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教B版必修5

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．2．通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.自主预习探新知1．余弦定理(1)三角形任何一边的_____等于其他两边的_______减去这两边与它们______的余弦的积的_____，即a2＝________________，b2＝________________，______________________．(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求______．②已知_____和它们的_____，求第三边和其他两个角．平方平方和夹角两倍三角两边夹角b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？[提示]是．2．余弦定理的变形(1)余弦定理的变形：cosA＝____________；cosB＝____________；cosC＝____________.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为_____；c2a2＋b2⇔∠C为_____；c2a2＋b2⇔∠C为______．直角钝角锐角1．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．13B．－12C．14D．－14A[根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k0)．则有cosC＝9k2＋4k2－9k22×3k×2k＝13.]B[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.因为b0，所以b＝8.]2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或860°[cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，∠B＝60°.]3．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则∠B＝________.120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝120°.]4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.合作探究提素养已知两边及一角解三角形【例1】已知△ABC，根据下列条件解三角形：a＝3，b＝2，∠B＝45°.[解]由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB．∴2＝3＋c2－23·22c．即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.当c＝6＋22时，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°∠A180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°∠A180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°.故c＝6＋22，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝6－22，∠A＝120°，∠C＝15°.已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，∠C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c．[解]5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝35，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝35.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c＝4，即第三边长为4.已知三边或三边关系解三角形【例2】(1)已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的各角度数；(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．[解](1)由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴∠A＝60°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝232＋6＋22－2222×23×6＋2＝22，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.(2)∵ca，cb，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°∠C180°，∴∠C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角∠A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°B[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴∠A＝60°.]正、余弦定理的综合应用[探究问题]1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？[提示]设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝π2成立吗？反之，若∠C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？[提示]因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即cosC＝0，所以∠C＝π2，反之，若∠C＝π2，则cosC＝0，即a2＋b2－c22ab＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a－c·cosB)sinB＝(b－c·cosA)sinA，判断△ABC的形状．[思路探究]角边转化．[解]法一：∵(a－c·cosB)sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b．故△ABC为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA．∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A．∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝π2.故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．2．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．等边三角形[∵2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°.又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0，∴a＝c，可知△ABC为等边三角形．]3．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________．1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．(2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状．3．本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．()(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．()(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．()(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．()[解析](1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√C[∵2cosBsinA＝sinC，∴2×a2＋c2－b22ac×a＝c，∴a＝b．故△ABC为等腰三角形．]2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形219[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.]3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c＝________.4．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形．[解]由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b＝46.法一：由cosA＝b2＋c2－a22bc＝96＋163＋12－642×46×43＋1＝22，∵0°∠A180°，∴∠A＝45°.故∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理asinA＝bsinB，∴8sinA＝46sin60°，∴sinA＝22，∵ba，ca，∴a最小，即∠A为锐角．因此∠A＝45°.故∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－60°＝75°.