2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．掌握正弦定理的内容及其证明方法．2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一|正弦定理阅读教材P2～P3，完成下列问题．‖知识梳理‖正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即1_______________________________.asinA＝bsinB＝csinC‖思考辨析‖1．(1)在△ABC中，sinA＝sinB，则A＝B成立吗？(2)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c成立吗？(3)在△ABC中，若AB，是否有sinAsinB？反之，是否成立？提示：(1)由于在△ABC中，sinA＝sinB，有a＝b，则A＝B，故(1)成立．(2)由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c正确，即(2)成立．(3)∵AB，∴ab.又∵asinA＝bsinB，∴sinAsinB．反之，若sinAsinB，则ab，即AB.故AB⇔sinAsinB．故(3)成立．‖小试身手‖1．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为()A.3＋1B．23＋1C．26D．2＋23解析：选C由正弦定理asinA＝bsinB，得4sin45°＝bsin60°，所以b＝26，故选C.2．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B＝()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°解析：选C由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2sin60°3＝22.∵ab，∴AB，∴B＝45°.故选C.知识点二|解三角形阅读教材P3～P4，完成下列问题．‖知识梳理‖解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的2_____________个元素求3_____________元素的过程叫做解三角形．几其他‖思考辨析‖2．已知三角形的任意两角与一边如何解三角形？提示：由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．3．已知三角形的任意两边与其中一边的对角，如何解三角形？提示：由正弦定理可以先计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．‖小试身手‖3．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则c＝_____________，b＝_____________.解析：因为A＝60°，B＝30°，所以C＝90°，由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝12c.又c＋b＝12，所以c＝8，b＝4.答案：844．在△ABC中，b＝3，c＝3，C＝2π3，则a＝_____________.解析：由正弦定理，得3sin2π3＝3sinB，∴sinB＝12.∵C为钝角，∴B为锐角，∴B＝π6，∴A＝π6，∴a＝b＝3.答案：3剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一利用正弦定理解三角形多维探究利用正弦定理解三角形，常见的角度有：1．已知三角形两角及一边解三角形．2．已知三角形两边及一边的对角解三角形．角度1已知三角形两角及一边解三角形【例1】在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形．[解]在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝2(3＋1)4.根据正弦定理，得a＝csinAsinC＝2sin60°sin75°＝2×3223＋14＝6(3－1)＝32－6，所以b＝csinBsinC＝2sin45°sin75°＝2×2223＋14＝2(3－1).[方法总结]已知任意两角和一边，解三角形的步骤(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先拆角求出其正弦值，再根据以上步骤求解.1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D．32解析：选B由正弦定理得，BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23，故选B.2．在△ABC中，若b＝5，B＝π4，tanA＝2，求c的值．解：由tanA＝2，知sinA＝25，cosA＝15，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝25×22＋15×22＝310.在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC知，522＝c310，解得c＝35.角度2已知三角形两边及一边的对角解三角形【例2】在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形．[解]∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.[方法总结]三角形解的各种情况汇总根据正弦函数的图象，由正弦值求角时，可能有一解或两解，再进一步求第三角时可能无解，也可能有一解或两解．例如，已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式①a＝bsinA且ab②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的个数一解两解无解一解无解3．由下列条件判断三角形解的情况，正确的是___________(填序号)．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．解析：①中a＝bsinA，有一解；②中csinBbc，有两解；③中A＝90°且ab，有一解；④中ab且A＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④4．在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b.解：∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝22.∴A＝45°或A＝135°.又∵ca，∴CA.∴A＝45°.∴B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1.题型二三角形形状的判断一题多解【例3】在△ABC中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC的形状．[解][解法一：化角为边]∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得，a·a2R＝b·b2R，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．[解法二：化边为角]∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得，2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形．[方法总结]利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状，利用的公式为sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)化边为角，将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状，利用的公式为a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.5．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选A由a＝2bcosC，得sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形．故选A.6．在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，则△ABC是_____________三角形．解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以a2R2－b2R2＝c2R2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．答案：直角知识归纳自我测评堂内归纳提升1．记牢1个定理正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2．掌握2个变形(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.3．关注3个应用(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．(3)判断三角形的形状．4．辨明2个易错点(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．「自测检评」1．在△ABC中，下列等式总能成立的是()A．acosC＝ccosAB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinA解析：选D由正弦定理易知，选项D正确．故选D.2．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sinA∶sinC的值是()A.75B．57C.712D．512解析：选A由正弦定理得sinA∶sinC＝a∶c＝7∶5.故选A.3．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B由题意有asinA＝b＝bsinB，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.4．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC边长为____________．解析：因为BCsinA＝2R，所以BC＝2RsinA＝4sin60°＝23.答案：235．已知b＝10，c＝56，C＝60°，解三角形．解：∵sinB＝bsinCc＝10sin60°56＝22，且bc，C＝60°.∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1).