2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 3.2 “杨辉三角”与二项式系课件 新人教A版选修

第一章计数原理1．3二项式定理1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质梳理知识夯实基础自主学习导航1．掌握二项式系数的性质，并能利用二项式系数解决相关问题．2．会用赋值法求展开式系数的和．‖知识梳理‖1．在杨辉三角中，在同一行的每行两端都是_______，与这两个_______等距离的项的系数__________；在相邻的两行中，除______以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_____，此性质反映组合数的性质__________________.11相等1和Crn＋1＝Cr－1n＋Crn2．二项式系数的性质(1)对称性．与首末两端“__________”的两个_________________，它反映了组合数性质____________.(2)增减性与最大值．当kn＋12时，二项式系数是逐渐__________的，由对称性知它的后半部分是逐渐__________的，且在__________取得最大值．当n为偶数时，中间的一项取得最大值______；当n为奇数时，中间的两项__________相等，且同时取得最大值．等距离二项式系数相等Cmn＝Cn－mn增大减小中间(3)各二项式系数的和．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝__________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和相等，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝__________.2n2n－1解剖难点探究提高重点难点突破二项式系数的性质包括了组合数的性质．Cmn＝Cn－mn，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.另外，二项式系数的性质还包括对称性，增减性与最值，以及各二项式系数的和，如C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1等．在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，求S20.【思路探索】由数列中的每一项在杨辉三角中的位置，再结合二项展开式的二项式系数，再求解．【解】由图可知，a1＝1＝C22，a2＝2＝C12，a3＝3＝C23，a4＝3＝C13.∵a19＝C211，a20＝C111，∴S20＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋…＋(C111＋C211)＝(C12＋C13＋…＋C111)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝2＋11×102＋C312＝285.[名师点拨]解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察.如图是一个7阶的“杨辉三角”．给出下列命题：①记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij，则数列{aij}的通项公式为Cji；②第k行各个数的和是2k；③n阶“杨辉三角”中共有nn＋12个数；④n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n＋1－1.其中正确命题的序号为________．解析：由题图“杨辉三角”可知各项的系数符合二项式系数，故{aij}的通项公式为Cj－1i，故①错误；各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，∴第k行各数的和是2k，故②正确；第k行共(k＋1)个数，从而n阶“杨辉三角”中共有1＋2＋3＋…＋(n＋1)＝n＋1n＋22个数，故③错误；n阶“杨辉三角”的所有数的和是1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1，故④正确．答案：②④题型二求展开式中各项系数的和已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值．(1)a1＋a2＋a3＋…＋a7；(2)a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7；【思路探索】利用赋值法求解．【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(1＋2)7＝37＝2187.(3)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，②两式相减得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，∴a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(4)将(3)中的①②两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(5)解法一：∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.解法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项系数之和，令x＝1，∴|a0|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.解法三：∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，故|a0|＋|a1|＋…＋|a7|是(1－2x)7的展开式当x＝－1时的值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.[名师点拨]求展开式中各项系数的和关键是根据所求的展开式系数和的特征给字母赋值.(2019·金考卷命题专家原创卷三)设(x＋33y)n的二项展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－2N＝960，则二项展开式中xy的系数为()A．270B．330C．210D．－100解析：根据题意，令x＝1，y＝1，则M＝4n，∵N＝2n，∴M－2N＝4n－2·2n＝(2n)2－2·2n＝960，∴2n＝32，∴n＝5.(x＋33y)5的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck5x(3y)k＝Ck5·3k·x·y(k＝0,1,2,3,4,5)，令k3＝1，5－k2＝1，得k＝3，∴二项展开式中xy的系数为C35×33＝10×27＝270.故选A.答案：A题型三求二项展开式中系数或二项式系数的最大项已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【思路探索】二项式系数最大的项为二项展开式的中间项或中间两项，只需确定n，便可求出(1)，对于(2)可利用不等式求解．【解】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x)2(3x2)3＝270x.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·x(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3.∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92，∵r∈N*，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝C45x(3x2)4＝405x.[名师点拨]求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．求展开式中系数最大的项，要根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，通过解不等式的方法求解.已知41x＋3x2n展开式中的倒数第3项的系数为45，求：(1)含x3的项；(2)系数最大的项．解：(1)由题意可知Cn－2n＝45，即C2n＝45，解得n＝10，令11r－3012＝3，得r＝6，所以含x3的项为T7＝C610x3＝C410x3＝210x3.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．若n为奇数，则(1－2x)n的展开式中各项系数和为()A．2nB．2n－1C．－1D．1解析：令(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，∴a0＋a1＋…＋an＝(－1)n＝－1，故选C.答案：C2．(3x－2)7展开式中各项系数的和为()A．1B．－1C．27D．57解析：令x＝1，得(3－2)7＝1.答案：A3．在(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：∵2n＋1为奇数，∴二项式系数最大的项为中间两项，是第2n＋1＋12和第2n＋1＋12＋1，即第n＋1项和第n＋2项．答案：C4．(2019·福州高三质检)(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________．解析：设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7，①令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7，②②－①得(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)．答案：35．(2019·广州高三调研)已知(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.解析：解法一：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(2＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(2－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋2)4×(2－2)4＝[(2)2－22]4＝16.解法二：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以根据二项式定理得a0＝4，a1＝162，a2＝48，a3＝322，a4＝16.故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(162＋322)2＝16.答案：16