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第一章计数原理§3组合第2课时组合的应用学习目标核心素养1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．(重点)2．能解决有限制条件的组合问题．(难点)通过对组合应用的学习，培养“逻辑推理”、“数学建模”、“数学运算”的数学素养.自主预习探新知1．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个____元素中取出m(m≤n)个元素．不同点：排列与元素的____有关，组合与元素的____无关．不同顺序顺序2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4)结论：根据计算结果写出方案个数．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有()A．26种B．84种C．35种D．21种C[从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．]2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种B[由题意，不同的放法共有C13C24＝3×4×32＝18种．]3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种．(用数字作答)10[两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．]4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．96[甲选修2门，有C24＝6(种)不同方案．乙选修3门，有C34＝4(种)不同选修方案．丙选修3门，有C34＝4(种)不同选修方案．由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．]合作探究提素养无限制条件的组合问题【例1】在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[解](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法1弄清要做的这件事是什么事.2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题.3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果.1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？[解](1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法，即C26＋C24＝21(种)．有限制条件的组合问题【例2】高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5984种．∴不同的取法有5984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2100种．∴不同的取法有2100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种．∴不同的取法有2555种．(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6545－455＝6090种．∴不同的取法有6090种．常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.2．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？[解](1)从5名男司机中选派3名，有C35种方法，从4名女司机中选派2名，有C24种方法，根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为C35C24＝C25C24＝5×42×1·4×32×1＝60种．(2)从9人中任选5人运货有C59种方法．其中1名男司机，4名女司机有C15C44＝5种选法．所以至少有两名男司机的选派方法为C59－5＝121种．1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题：(1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．(2)若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．(3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．当堂达标固双基1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A．720B．360C．240D．120D[确定三角形的个数为C310＝120.]2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．28B．49C．56D．85B[依题意，满足条件的不同选法的种数为C22C17＋C12C27＝49种．]3．由三个3和四个4可以组成________个不同的七位数．35[在七个位置上选出3个位置放入3，其余放入4，有C37＝C47＝35个不同的数．]4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________.2100[按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25＝2100种抽法．]5．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？[解](1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C27·C25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210(种)走法．