2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 2.2 组合 第二课时 组合的综合应用课件 新人教

第一章计数原理1．2排列与组合1．2.2组合第二课时组合的综合应用梳理知识夯实基础自主学习导航通过实例掌握常见的组合问题，掌握解决组合问题常用的方法和技巧．‖知识梳理‖从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的组合数Cmn＝__________＝_______________.Amnm！n！n－m！m！解剖难点探究提高重点难点突破1．排列与组合的联系与区别排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”．如果交换某两个元素的位置对结果产生影响，就是排列问题；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是组合问题．简言之，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：(1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；(2)要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析；(3)常用间接法解决该类问题．3．排列组合综合问题情景复杂多样，问题灵活多变，但解决该类问题的一般思路是“先选后排”，“先组合后排列”，解题时应根据题意灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一有限制条件的组合问题某大学音乐系从6名女大学生和4名男大学生中选出3名同学去参加“中国好声音”比赛．(1)共有多少种不同的选法？(2)若选出的3名同学中恰有一名男大学生的方法有多少种？(3)若选出的3名同学中至少有一名男生的方法有多少种？(4)若选出的3名同学中至多有一名男生的方法有多少种？【思路探索】从10名大学生中选出3人，由于没有顺序，故这是一个组合问题．【解】(1)6名女大学生和4名男大学生共有10名大学生，从10个人中取出3人共有C310＝120种不同的选法．即共有120种不同的选法．(2)选出的3名同学中恰有一名男学生，分两步进行，第一步，从4名男生中选1人，有C14种选法，第二步，从6名女生中选2人，有C26种选法，由乘法原理可知共有C14C26＝60种不同的选法．即共有60种不同的选法．(3)解法一(直接法)：选出的3人中恰有一名男生的情形有C14C26＝60种不同的选法．选出的3人恰有2名男生的情形有C24C16＝36种不同的选法．选出的3人全是男生的情形有C34＝4种不同的选法．由加法原理可知共有60＋36＋4＝100种不同的选法．解法二(间接法)：从10名大学生中选出3人共有C310＝120种不同的选法，其中没有男生的选法有C36＝20种不同的选法，∴共有120－20＝100种不同的选法．(4)选出的3名同学中恰有一名男生的情形有C14C26＝60种不同的选法，选出的3名同学中没有男生的情形有C36＝20种不同的情形．由加法原理可知共有60＋20＝80种不同的选法．[名师点拨]解答有限制条件的组合问题常见的方法是直接法和间接法，在用直接法求解时，注意特殊元素要优先选取，优先安排，对于复杂问题由正难则反的原则可用间接法，注意在解题过程中“至多”“至少”等词语的确切含义.从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()A．70种B．112种C．140种D．168种解析：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C410种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C48种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C410－C48＝210－70＝140种不同挑选方法，故选C.答案：C题型二分组与分配问题按要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(2)分给三人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给三人，每人2本；(5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本；(6)分给三人，一人得4本，另外两人每人得1本．【思路探索】搞清每件事中分书时是否与顺序有关，对应平均分组时应注意顺序，避免出现重复和遗漏．【解】(1)先选1本有C16种，再从余下的5本中选2本有C25种；最后余下3本全选有C33种，由乘法原理可知共有C16C25C33＝60(种)．(2)由于分给不同的三个人，除分步完成选书外，还要进行分配，故应有C16C25C33·A33＝360(种)．(3)先分三步完成取书，应有C26C24C22种方法，但其中出现大量重复，假如记6本书为A，B，C，D，E，F.先取AB，再取CD，最后为EF，还是先取CD或EF，都是相同的，但在前面取法中被重复计数，因此应有C26C24C22A33＝15(种)．(4)三人依次取书即可，共有C26C24C22＝90(种)．(5)先从6本书中任取4本，再把剩余的两本书分成两组，共有C46C12C11A22＝15(种)．(6)在上问基础上分配给三个人有C46C12C11A22·A33＝90(种)．[名师点拨]对于分组问题包括平均分组与不平均分组两类，平均分组的题型注意除以平均组数的阶乘；对于分配问题应先分组再分配.(2019·长沙市高三一模)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有____种不同的选法．解析：根据题意，可分三类完成：①选A课程不选B课程，有C24种不同的选法；②选B课程不选A课程，有C24种不同的选法；③同时选A和B课程，有C14种不同的选法．根据分类加法计数原理，得C24＋C24＋C14＝6＋6＋4＝16(种)，故学生甲共有16种不同的选法．答案：16题型三排列组合的综合应用有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？【思路探索】由于这11名翻译人员中有2人是“多面手”，故可以“多面手”为标准分情况讨论．【解】解法一：按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类：第一类：“英日都会”的人不参加，有C45C44种；第二类：“英日都会”的人有1人参加，该人可参加英语，也可参加日语，共有C12C35C44＋C12C45C34种；第三类：“英日都会”的均参加共有C35C34A22＋C25C44＋C45C24种．由分类加法原理可得共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C35C34A22＋C25C44＋C45C24＝185种．解法二：按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类．第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有C45C46种；第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有C12C35C45种；第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有C25C44种．由分类加法原理可得共有C45C46＋C12C35C45＋C25C44＝185种．[名师点拨]对于比较复杂的排列、组合应用题，若需分情况讨论，要注意分类讨论的标准要一致.《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是()A．216B．420C．720D．1080解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有C26C24A22种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有C26C24A22×A44＝1080种不同的分配方案．答案：D即学即练稳操胜券课堂基础达标1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9解析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C24条路，再从F处到G处最短共有C13条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C24·C13＝18条，故选B.答案：B2．(2019·西安一中高二月考)某企业有4个分厂，新培训了6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A．1080B．480C．1560D．300解析：先把6名技术工人分成4组，每组至少1人，①若把6人按3,1,1,1的人数分组，则不同的分配方法有C36＝20种；②若把6人按2,2,1,1的人数分组，则不同的分配方法有C26C242！·C122！＝45种．所以所有的分组方法有20＋45＝65种，再把4组分到4个分厂有65A44＝65×24＝1560种不同方案．故选C.答案：C3．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18B．24C．30D．36解析：不同分法的种数为C24A33－A33＝30.答案：C4．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式的种数有()A．212B．37C．27D．18解析：由题可知，若每次取出4瓶，取6次，有1种方式；每次取出3瓶，取8次，有1种方式；3次取4瓶，4次取3瓶，取7次，共有C37＝35种；共35＋1＋1＝37种取法，故选B.答案：B5．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有________种(用排列数组合数表示)．解析：由题意，其余18人有A1818种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有A22种站法；根据乘法原理，可得不同的排法共有A22A1818种．答案：A22A1818