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第一章计数原理1．2排列与组合1．2.1排列第一课时排列与排列数公式梳理知识夯实基础自主学习导航1．了解排列，排列数的定义，掌握排列数公式的推导方法．2．能运用排列数公式进行计算，求值．‖知识梳理‖1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_____________________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个__________；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__________，用__________表示，即Amn＝_____________________________．其中m，n∈N*，且m≤n.按照一定的顺序排列排列数Amnn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)2．若两个排列相同，当且仅当___________________________________________________3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个__________．Ann＝___________________________＝_______，另外，规定0！＝_______，Amn＝___________＝__________.两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同全排列n×(n－1)×…×3×2×1n！1AnnAn－mn－mn！n－m！解剖难点探究提高重点难点突破排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．注意：所研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，它是一个数．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一利用排列的概念解题①在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场)．若共有12支球队参赛，问共需进行多少场比赛？②在“世界杯”足球赛中，由于由东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环，问在小组循环中共需进行多少场比赛？③在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签捉对淘汰制”决出冠军．若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？在上述三个问题中，是排列问题的是________．【思路探索】利用排列的概念解题．【解析】对于①，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于②，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于③，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．【答案】①[名师点拨]判断一个问题是否是排列问题的依据是看是否与顺序有关，若与顺序有关是排列问题，否则不是排列问题.写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任数学课代表和物理课代表．解：(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排的所有排列为(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(甲丙乙丁)、(甲丙丁乙)、(甲丁乙丙)、(甲丁丙乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(乙丙甲丁)、(乙丙丁甲)、(乙丁甲丙)、(乙丁丙甲)、(丙甲乙丁)、(丙甲丁乙)、(丙乙甲丁)、(丙乙丁甲)、(丙丁甲乙)、(丙丁乙甲)、(丁甲乙丙)、(丁甲丙乙)、(丁乙甲丙)、(丁乙丙甲)、(丁丙甲乙)、(丁丙乙甲)，共24种不同的排列．(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任数学课代表和物理课代表的所有排列为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种不同的排列．题型二排列数公式的应用(1)求A39＋A388A27的值；(2)化简Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1；(3)解方程A42x＋1＝140A3x.【思路探索】对于(1)、(2)利用排列数公式或阶乘的概念化简；对于(3)可利用排列数公式将方程转化为关于x的代数方程求解．【解】(1)A39＋A388A27＝9×8×7＋8×7×68×7×6＝9＋66＝52.(2)Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1＝n－1！n－m！·n－m！n－1！＝1.(3)由A42x＋1＝140A3x，得：(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，∵x≥3，2x＋1≥4，∴x≥3.∴x≠0，x－1≠0，∴(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，整理得4x2－35x＋69＝0，∴x＝234，x＝3.∵x∈N*，∴x＝234舍去，∴x＝3.[名师点拨](1)公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．有如下特点：①第一个因数是n；②每个因数都比它前面的因数少1；③最后一个因数是n－m＋1；④一共有m个连续的自然数相乘．(2)Amn有两个公式，一般当m为常数时，使用公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)；当m为字母时，常用公式Amn＝n！n－m！.已知A32n＝10A3n，那么n＝________.解析：∵A32n＝10A3n，∴2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，∵n≥3，∴2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8.答案：8题型三简单的排列问题(1)沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁铁路线上的这六个大站间准备的不同火车票的种数为()A．30B．15C．81D．36(2)某考生填报某高校专业意向表，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A．10种B．60种C．125种D．243种【解析】(1)所求问题可归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列，共A26＝6×5＝30(种)．故选A.(2)由题可知不同的填法为A35＝60(种)，故选B.【答案】(1)A(2)B[名师点拨]若所研究的问题与顺序有关，那就是排列问题，否则就不是排列问题，从n个不同元素中，任取m个元素的排列数为Amn.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24B．48C．60D．72解析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应为1,3,5中的一个，其他位置共有A44种可能，故奇数的个数为3A44＝72，故选D.答案：D即学即练稳操胜券课堂基础达标1．下列问题是排列问题的是()A．从某单位352人中选2人参加十八大代表大会B．由7,8,9这三个数字，可以组成不同的三位数C．乒乓球教练从训练队中选出7人参加锦标赛D．沿途有四个车站，这四个车站之间的票价数解析：由于组成三位数与顺序有关，故选B.答案：B2．若90A2n＝A4n，则n＝()A．11B．12C．13D．14解析：∵90A2n＝A4n，∴90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)，即n2－5n＋6＝90，解得n＝－7(舍)或n＝12，故选B.答案：B3．下列各式中不等于n！的是()A．AnnB.1n＋1An＋1n＋1C．Ann＋1D．nAn－1n－1答案：C4．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数为________．解析：无重复数字的四位偶数共有2A34＝48.答案：485．求满足不等式A7nA5n12的n的最小值．解：由排列数公式得n！n－7！n！n－5！12，即n－5！n－7！12，∴(n－5)(n－6)12，解得n9或n2，又∵n≥7，∴n9，∵n∈N*，∴n的最小值为10.