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第一章计数原理1．2排列与组合1．2.1排列第三课时排列的应用(二)梳理知识夯实基础自主学习导航通过实例总结常见的排列问题及常见的方法技巧．‖知识梳理‖排列的特点是与________有关，从n个不同元素中任取m个不同元素的排列数Amn＝________________________．顺序n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)解剖难点探究提高重点难点突破解决排列问题常用的还有如下方法：(1)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．(2)分排问题直排处理．(3)正难则反，等价转化的方法．(4)对于复杂问题分类讨论，转化为若干个简单问题．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一定序问题某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有()A．12种B．30种C．36种D．42种【思路探索】由于原来这5名同学顺序不变，故可采用把另外两名同学插空的方法，也可以把7名同学进行全排列，由于原来5名同学顺序不变，故其排列数是所有排列数的A55倍．【解析】解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，再增加两名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一个同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的排列．解法二：先将所有同学重排，共有A77种方法，而原来5名同学共有A55种不同顺序，因此共有A77÷A55＝42种顺序．【答案】D[名师点拨]对于某些顺序一定的排列问题，可采用除阶乘的方法解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.(2019·开封高中高二月考)把语文、数学、物理、历史、英语这五门课程安排在同一天的五节课上，如果数学课必须比历史课先上，则不同的排法有()A．48B．24C．60D．120解析：五门课程随意安排有A55种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法的一半，所以数学课在历史课前的排法有12A55＝60(种)．故选C.答案：C题型二排列的综合应用用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比21000大的五位偶数共有多少个？【思路探索】比21000大的数可用分类讨论的方法求解．【解】解法一：首位数字为5的五位偶数共有A13A34＝72个．首位数字为4的五位偶数共有A12A34＝48个．首位数字为3的五位偶数共有A13A34＝72个．首位数字为2，第二位为5的五位偶数共有A12A23＝12个．首位数字为2，第二位为4的五位偶数共有A23＝6个．首位数字为2，第二位为3的五位偶数共有A12A23＝12个．首位数字为2，第二位为1的五位偶数有A12A23＝12个．由分类加法原理可知共有72＋48＋72＋12＋6＋12＋12＝234个．解法二：用0,1,2,3,4,5可以组成没重复数字的五位偶数共有2×4A34＋A45＝312个，其中比21000小的五位偶数有3A34＋A23＝78个，所以比21000大的五位偶数有312－78＝234个．[名师点拨]对于比较复杂的问题，可依据特殊元素，特殊位置分类讨论.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有()A．56B．57C．58D．60解析：首位数字是2，千位为3，则有A12A22＋1＝5个；首位数字是2，千位是4或5时有A12A33＝12个；首位数字是3时，有A44＝24个；首位数字是4，千位是1或2时有A12A33＝12个；首位数字4，千位是3时有A12A22＋1＝5个，∴共有5＋12＋24＋12＋5＝58个．答案：C7个人站成两排，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少种不同的排法？(2)若甲排在第一排共有多少种不同的排法？【思路探索】对于多排的可按排成一排处理．【解】(1)解法一：将7个人排成两排，第一排3人，第二排4人，共有A37A44＝5040种不同的排法．解法二：将7人排成两排，可按一排处理，共有A77＝5040种不同的排法．(2)由于甲排在第一排，故可先安排甲，再安排其他人，共有A13A66＝2160种不同排法．(2019·日照模拟)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．若取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种．解析：数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2.取出的卡片所标数字为4,4,1,1时，有A44种不同的排法；取出的卡片所标数字为3,3,2,2时，有A44种不同的排法；取出的卡片所标数字为4,3,2,1时，每个数字都有2种不同的取法，则有24A44种不同的排法．所以共有2A44＋24A44＝432种不同的排法．答案：432即学即练稳操胜券课堂基础达标1．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种解析：先将甲、乙捆绑，与除去丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A22种排法，而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种排法，故选C.答案：C2．(2019·南昌二中高二月考)世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，则甲、乙被分配到同一展台的不同分法有()A．12种B．10种C．8种D．6种解析：因为甲、乙被分配到同一展台，所以可以把甲、乙捆在一起，然后与丙、丁进行全排列，即有A33＝6种分法，故选D.答案：D3．(2019·吉安一中高二月考)2018年平昌冬奥会期间，5名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为()A．21B．36C．42D．84解析：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分2种情况讨论：①最左端排甲，剩下4人全排列，有A44种排法；②最左端排乙，由于最右端不能排甲，则甲有3个位置可选，再将剩余的3人全排列，有3A33种排法．所以不同的排法种数为A44＋3A33＝42.故选C.答案：C4．某会议室共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为()A．12B．16C．24D．32解析：将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有A34＝24种坐法．答案：C5．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有________种(用数字作答)．解析：依题意，金土火木水水木火土，同理木、土、水、火开头各有2种，共5×2＝10种．答案：10