搜索
第一章计数原理1．2排列与组合1．2.1排列第二课时排列的应用(一)梳理知识夯实基础自主学习导航过实例总结常见的排列问题及常见的方法技巧．‖知识梳理‖从n个不同的元素中任取m个元素，(m≤n)，按照一定的顺序排成一列，这是_______问题，其排列数为_______，且Amn＝________________________＝__________.排列Amnn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n－m！解剖难点探究提高重点难点突破解决排列问题常用的方法(1)特殊元素优先法对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素．(2)特殊位置优先法对于有特殊位置的排列问题，一般应先考虑特殊位置，再考虑其他位置．(3)相邻问题捆绑法对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素，与其他元素一起排列，然后再对被“捆绑”的元素内部进行排列．(4)不相邻问题插空法对于要求某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端的空隙处即可．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一数字问题由0,1,2,3，…，9这十个数字中任取三个数字．求：(1)组成的不同的三位数的个数；(2)组成的不同的三位奇数的个数；(3)组成的不同的三位偶数的个数．【思路探索】对于(1)，由于首位数字不为0，故可优先安排首位数字；对于(2)，由于是奇数，故末位数字必是奇数，可优先安排；对于(3)，由于0可在末位，也可不在末位，需分情况讨论．【解】(1)由于首位数字不为零，故完成这件事分两步进行，第一步，确定首位数字，从1,2,3，…，9这9个数字中任取一个作首位，有9种不同的方法；第二步，从剩下的9个数中任取两个，分别作十位数字和个位数字，有A29种不同的方法，由乘法原理可知，共有9A29＝648个三位数．(2)完成这件事，分三步进行，第一步，从1,3,5,7,9这5个数中任取一个，作为末位数字，共有A15种不同的方法；第二步，从剩下的除0外的8个数中，任取一个数，当首位数字，有A18种不同的方法；第三步，从剩下的8个数字中任取一个数字当十位数字，共有A18种不同的方法，由乘法原理，共有A15A18A18＝320个不同的三位数．(3)解法一：末位数字为0的三位数有A29＝72个，末位数字不为0的三位数有A14A18A18＝256个．由加法原理可知，共有72＋256＝328个三位偶数．解法二：(间接法)末位数字为偶数的三位数为A15A29－A14A18＝328个．[名师点拨]对于有约束条件的排列问题，首先要按照特殊元素、特殊空位优先安排的原则，也可以先求出无约束条件的排列数，再减去不符合条件的排列数.若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有()A．20个B．48个C．52个D．120个解析：依题意，符合条件的三位数有两类，第一类：个位数字为0，共有A25＝20个；第二类：个位数字为2或4，共有A12·A14·A14＝32个，所以满足条件的三位数共有20＋32＝52个，故选C.答案：C题型二排队问题有4名男生和3名女生排成一排．(1)其中男生甲必须站在中间有多少种不同的排法？(2)其中男生乙不站排头和排尾，有多少种不同的排法？(3)其中三名女生必须相邻，有多少种不同的排法？(4)其中三名女生两两不相邻，有多少种不同的排法？(5)其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？【思路探索】对于涉及限制条件的排列问题，可优先安排特殊元素特殊空位，对于相邻问题，可用捆绑法，对于不相邻问题，可用插空法．【解】(1)由于甲的位置已经确定，其余6人可任意排列，共有A66＝720种排法．(2)由于男生乙不站排头和排尾，故可优先安排乙，有A15种不同方法，其余6人可任意排列，共有A66＝720种不同的方法，由乘法原理可知共有A15A66＝3600种排法．(3)先把女生看成一个元素，与其他4名男生共5个元素来排，共有A55种排法，再排三名女生有A33种排法，由乘法原理可知，共有A55A33＝720种不同的排法．(4)先排男生有A44种排法，形成5个空位，将3名女生插入5个空位中，共有A35种排法，∴共有A44A35＝1440种不同排法．(5)解法一：间接法．甲站排头有A66种排法，乙站排尾有A66种排法，甲站排头，且乙站排尾的有A55种排法，故共有A77－2A66＋A55＝3720种排法．解法二：直接法．分类：第一类：甲在排尾共有A66＝720种方法；第二类：甲不在排尾，也不在排头，共有A15A15A55＝3000种，故共有3000＋720＝3720种．[名师点拨]对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题可用捆绑法，不相邻问题插空法等.7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男生4名，女生2名，在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)2名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站正中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有A22种站法，将2名女生视为一个整体与其余5人全排列，有A66种站法，所以共有A22A66＝1440种不同的站法．(2)先排老师和女生，有A33种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空1名，有A44种站法，所以共有A33A44＝144种不同的站法．(3)中间和两端是特殊位置，可按如下分类求解：①老师站两端中的一端，另一端站男生，有A12A14A55种站法；②两端全由男生站，老师站除两端和正中间外的另外4个位置之一，有A24A14A44种站法．所以共有A12A14A55＋A24A14A44＝2112种不同的站法．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．某学校为了提高学生的安全意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有()A．10种B．20种C．25种D．30种解析：依题意，从连续7天中随机选择3天，且3天中恰好有2天连续，相当于从6天中选择不相邻的2天，且这两天中一天代表两天，一天代表一天，故先安排4天空位，产生5个空隙，在5个空隙中插入2天，共有A25＝20种，故选B.答案：B2．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空位，因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法．故选C.答案：C3．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名，请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A．6B．18C．20D．24解析：由题意知，名次排列的种数为3A33＝18，故选B.答案：B4．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A28A22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A28A22.故所求的四位数的个数是A28＋A28A22＋A28A22＝280.答案：2805．观察数字2447,2052,2131，它们都是首位数字是2的四位数且这些数中恰有两个数字相同，则具有这样特点的四位数的个数为________(用数字作答)．解析：符合条件的四位数有两类，第一类，后三位数中有数字2，这样的四位数有A13·A29＝216个；第二类，后三位数中没有数字2，这样的四位数有3×9×8＝216个，所以共有216＋216＝432个．答案：432