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第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式学习目标核心素养1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1.通过学习组合与组合数的概念，体现了数学抽象的素养．2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养.自主预习探新知1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成______，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．一组思考1：怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示](1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．所有不同组合思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？[提示]同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.3．组合数公式及其性质(1)公式：Cmn＝AmnAmm＝_____________.(2)性质：Cmn＝_____，Cmn＋Cm－1n＝_____.(3)规定：C0n＝___.n！m！n－m！Cn－mnCmn＋111．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④C[①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]B[C2n＝n×n－12＝28，解得n＝8.]2．若C2n＝28，则n＝()A．9B．8C．7D．63[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.]3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．1518[C26＝6×52＝15，C1718＝C118＝18.]4．C26＝________，C1718＝________.合作探究提素养写出问题的组合【例1】已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解]法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.法二：画出树形图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏．2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．1．已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解]可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.组合数公式的应用【例2】(1)计算C410－C37·A33；(2)计算C5－nn＋C9－nn＋1.[思路点拨]解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．[解](1)原式＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×53×2×1·(3×2×1)＝210－210＝0.(2)由n≥5－n，n＋1≥9－n，9－n≥0，5－n≥0，n∈N*，得n＝4或5.当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式Cmn＝AmnAmm常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式Cmn＝n！n－m！m！常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．2．求值：C17－n2n＋C3n13＋n.[解]由组合数的公式的性质，可得2n≥17－n，13＋n≥3n，2n∈N*，17－n∈N，13＋n∈N*，3n∈N，解得n＝6.所以，原式＝C1112＋C1819＝C112＋C119＝12＋19＝31.简单的组合问题【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[思路点拨]判断是否为组合问题――→若是是否需要分类或分步求解―→套用公式求解[解](1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90种．本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？[解]至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．3．(1)集合{0,1,2,3}含有3个元素的子集的个数是()A．4B．5C．7D．8(2)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．(1)A(2)1020[(1)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C34＝4.(2)从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C25＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A25＝20.所以有向线段共有20条．]排列与组合的相同点与不同点名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点1.排列与顺序有关；2.两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同1.组合与顺序无关；2.两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)×D[C27＝7×62×1＝21.]2．下列计算结果为21的是()A．A24＋C26B．C37C．A27D．C2715[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．]3．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．4．(1)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；(2)证明：Cmn＝nn－mCmn－1.[解](1)由组合数的定义知，0≤38－n≤3n，0≤3n≤21＋n，即192≤n≤38，0≤n≤212.∴192≤n≤212，∵n∈N*，∴n＝10.∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466.(2)证明：nn－mCmn－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！＝n！m！n－m！＝Cmn.