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第一章计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理梳理知识夯实基础自主学习导航1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用两个计数原理解决一些简单的实际计数问题．‖知识梳理‖1．完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．推广：完成一件事有n类不同方案，在第一类方案中，有m1种不同的方法，第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．m＋nm1＋m2＋…＋mn2．完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．推广：完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______________种不同的方法．m×nm1×m2×…×mn解剖难点探究提高重点难点突破分类加法计数原理与分步乘法计数原理，解决的都是有关做一件事的不同方法的种类问题．其主要区别是，一个与分类有关，一个与分步有关．区分的主要依据是：分类加法计数原理中的每类办法中的每一种方法都能独立地完成这件事，各类办法之间是互斥的，并列的，独立的；分步乘法计数原理中的每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立地完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各个步骤之间具有连续性且相互依存．在应用两个计数原理处理具体问题时，一般要按五个步骤进行：(1)明确完成的这件事是什么；(2)思考如何完成这件事；(3)判断它属于分类还是分步；(4)确定运用哪个计数原理；(5)进行运算．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一分类加法计数原理的应用在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．【解析】解法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．解法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．【答案】36[名师点拨]做一件事，当每一类中的每一种方法都能单独完成这一件事时，用分类加法计数原理．在解题时，首先要根据题目中的条件，确定好分类标准，然后合理分类，再求解.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8解析：公比q＝2时，有1,2,4；2,4,8.公比q＝3时，有1,3,9.公比q＝32时，有4,6,9.以上共4个，反过来也有4个，即4,2,1；8,4,2；9,3,1；9,6,4.所以等比数列的个数为8.答案：D题型二分步乘法计数原理的应用我校高一有音乐特长生5人，高二有4人，高三有6人，现从这三个年级中的音乐特长生中各选1人作为学生代表去参加我市好声音演唱会，共有多少种不同的选派方法？【思路探索】由于本题是从三个年级各选1人，需分步进行，用乘法原理求解．【解】欲选出学生代表，需分三步进行：第一步，从高一年级学生中选1人，共5种不同的选法；第二步，从高二年级学生中选1人，共有4种不同的选法；第三步，从高三年级中选1人，共有6种不同的选法．根据分步乘法计数原理可知，共有5×4×6＝120种不同的选派方法．[名师点拨]完成一件事，分成若干步，每一步中的每一个方法都不能单独完成这件事，只有各个步骤都依次完成，这件事才算完成，这时用分步乘法计数原理求解．用分步乘法计数原理求解时应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步要先后有序；(2)各步中的方法相互依存，缺一不可.(2019·临川一中高二月考)有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法()A．120种B．32种C．24种D．16种解析：由于红色菊花摆放在中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，故可分两步：第一步，红色菊花放在5个位置的正中间，2盆白色菊花分别摆放在红色菊花的两侧，有8种不同的摆法；第二步，黄色菊花摆放在余下的两个位置，有2种不同的摆法，由分步乘法计数原理知，不同的摆放方法有8×2＝16(种)，故选D.答案：D题型三两个原理的综合应用现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【思路探索】对于(1)，由于负责人，可以是这四个班中的任何一个学生，故用加法原理；对于(2)，由于每班都要选一名组长，要分步进行，故用乘法原理解决；对于(3)，由于两个人来自于不同的班级，可以是一、二班，也可以是…，故要用加法原理和乘法原理．【解】(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．由分步乘法计数原理知共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．[名师点拨](1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.有一项活动，需要从3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需1人参加，则有________种不同的选法；(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加，有________种不同的选法；(3)若需一名老师，一名同学参加，有________种不同的选法．解析：(1)由加法原理得3＋8＋5＝16种不同的选法；(2)由乘法原理，共有8×3×5＝120种不同的选法；(3)解法一：完成这件事，共分两类：第一类，一名老师，一名女同学，共有3×5＝15种不同的选法；第二类，一名老师，一名男同学，共有3×8＝24种不同的选法，由加法原理，共有15＋24＝39种不同的选法．解法二：共分两步，第一步，一名老师有3种选法，第二步，一名学生共有8＋5＝13种选法，由乘法原理，共有3×13＝39种．答案：(1)16(2)120(3)39即学即练稳操胜券课堂基础达标1．有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A．8B．15C．18D．30解析：共有5＋3＝8种不同的方法．答案：A2．有A，B，C，D四种不同颜色的花要(全部)栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是A颜色的花，则不同栽种方法种数为()A．24B．36C．42D．90解析：可以直接利用树状图分析解答．这一类有12种，类似A→C→…，A→D→…各有12种，共36种，故选B.答案：B3．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种解析：涂A有6种方法，涂B有5种方法，涂C有4种方法，涂D有4种方法，共有6×5×4×4＝480种涂法．答案：C4．(2019·兰州一中高二月考)从集合{0,1,2,3,4}中任选两个数，分别记为a，b，则复数a＋bi中的虚数有()A．10个B．12个C．14个D．16个解析：a＋bi为虚数时，分两类：当a＝0时，b有4个值可取，此时虚数个数为4；当a≠0时，a有4个值可取，b有3个值可取，此时虚数个数为4×3＝12，则虚数个数为16，故选D.答案：D5．(2019·吉安一中高二月考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然两位回文数有9个：11,22,33，…，99；三位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则五位回文数有________个．解析：第一步，选从左边数第一个数字和从右边数第一个数字，有9种选法；第二步，选从左边数第二个数字和从右边数第二个数字，有10种选法；第三步，选从左边数第三个数字(即从右边数第三个数字)，有10种选法，故五位回文数有9×10×10＝900(个)．答案：900