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第一章集合章末复习课体系构建题型探究集合的基本概念【例1】已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}的子集个数是()A．8B．16C．32D．64[思路探究]先确定集合B中元素个数，再利用子集个数的计算公式求解．C[yx－yx01200－1－2110－12210由上表知，B＝{－2，－1,0,1,2}，其子集个数为25＝32.]1．用列举法表示集合，其默认的条件是集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性．2．判断集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一个集合时只能算作一个．3．若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究．1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4A[当a＝0时，A＝∅，不合题意；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.]2．若2∈{2a－1,1－a2}，则a＝________.32[∵1－a2≤1，∴2a－1＝2，解得a＝32.]集合的基本关系【例2】已知集合A＝{x|x0，x∈R}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B⊆A，求实数p的取值范围．[解](1)当B＝∅时，B⊆A，由Δ＝(－1)2－4p0，解得p14.(2)当B≠∅，且B⊆A时，方程x2－x＋p＝0存在两个正实根．由x1＋x2＝10，Δ＝(－1)2－4p≥0，且x1x2＝p0，得0p≤14.由(1)(2)可得p的取值范围为{p|p0}．1．判断两集合关系的两种常用方法一是化集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．3．已知集合A＝{x∈R|－2x4}，B＝{x|x＋30}，则A与B之间的关系为()A．ABB．ABC．A＝BD．ABA[B＝{x|x－3}，把集合A，B在数轴上表示出来由上图知，AB.]4．已知{x|x2－5x＋6＝0}⊆{a,2,2a－1}，求实数a的值．[解]由{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，得3∈{a,2,2a－1}，∴a＝3，或2a－1＝3，解得a＝2或3.当a＝2时，集合{a,2,2a－1}中的元素不满足互异性，舍去．当a＝3时，{a,2,2a－1}＝{3,2,5}满足题意．综上得，a＝3.集合的基本运算设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知A∪B＝A，求实数m的取值范围．[思路探究]由A∪B＝A知B⊆A，需按B＝∅与B≠∅两种情况讨论，当B≠∅时，利用数轴列出关于m的不等式组求得m的取值范围．[解]∵A∪B＝A，∴B⊆A.当m－12m＋1，即m－2时，B＝∅，符合题意．当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴表示如图所示．则m－1≥－1，2m＋1≤6，解得0≤m≤52.综上所述，实数m的取值范围是m－2或0≤m≤52.在集合运算过程中应力求做到“三化”：1意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集.2具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.3直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.5．(1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．－1≤a≤1B．a≥1C．a≤－1D．a≥1或a≤－1(2)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅(3)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}(4)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a2－1,4}，∁UA＝{2，a＋3}，则实数a＝________.(1)A(2)C(3)D(4)2[(1)由P∪M＝P，得M⊆P，所以a∈P，所以a2≤1，解得－1≤a≤1.(2)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以，A∩B＝{x|0≤x≤1}．(3)用Venn图求解．由上图知，A＝{3,9}．(4)依题意得a2－1＝3，a＋3＝5或a2－1＝5，a＋3＝3，解得a＝2.]补集思想的应用[探究问题]1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．2．∁UA在U中的补集∁U(∁UA)与集合A有什么关系？提示：相等．3．∁AC与∁BC相等吗？为什么？提示：不一定．依据补集的含义，符号∁AC和∁BC都表示集合C的补集，但是∁AC表示集合C在全集A中的补集，而∁BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以∁AC与∁BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,4}，则∁AC＝{2,5,6,7,8,9}，∁BC＝{0,2}，很明显∁AC≠∁BC.若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至少有1个元素，求实数a的取值范围．[思路探究]从已知的反面出发，求出a的取值范围，再求其补集．[解]由A＝∅，得a≠0，Δ＝9－8a0，解得a98，所以，当A至少有一个元素时，a≤98.补集思想的解题方法,当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.其解题步骤为：1否定已知条件，考虑反面问题；2求解反面问题对应的参数范围；3取反面问题对应的参数范围的补集.6．已知集合A＝{y|ya2＋1，或ya}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．[解]若A∩B＝∅，则a≤2，a2＋1≥4，解得a≤－3，或3≤a≤2，所以，当A∩B≠∅时，－3a3，或a2.Thankyouforwatching!