第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值学习目标核心素养1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(重点)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(重点、难点)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(重点)4.通过本节内容的学习,使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用,提高学生逻辑推理、数学运算的能力.(重点、难点)1.借助函数最值的求法,培养直观想象和数学运算素养.2.利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.自主预习探新知函数最大值与最小值最大值最小值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的x∈I,都有f(x)____Mf(x)____M条件存在x0∈I,使得_____________f(x0)=M≤≥结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的_________f(x)图象上最低点的_______思考:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?[提示]不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.纵坐标纵坐标1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.-1,0B.0,2C.-1,2D.12,2C[由图可知,f(x)的最大值为f(1)=2,f(x)的最小值为f(-2)=-1.]2.设函数f(x)=2x-1(x0),则f(x)()A.有最大值B.有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值D[∵f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)f(0)=-1,故选D.]3.函数f(x)=1x,x∈[1,2],则f(x)的最大值为________,最小值为________.112[∵f(x)=1x在区间[1,2]上为减函数,∴f(2)≤f(x)≤f(1),即12≤f(x)≤1.]合作探究提素养利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】已知函数f(x)=3-x2,x∈[-1,2],x-3,x∈(2,5].(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域.[解](1)图象如图所示:(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(-1,0),(2,5),单调递减区间为(0,2),值域为[-1,3].利用图象求函数最值的方法(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)观察图象,找出图象的最高点和最低点;(3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.1.已知函数f(x)=x2,-1≤x≤1,1x,x1,求f(x)的最大值、最小值.[解]作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.利用函数的单调性求最值(值域)【例2】已知函数f(x)=2x+1x+1.(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.[解](1)f(x)在(-1,+∞)上为增函数,证明如下:任取-1x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2(x1+1)(x2+1),因为-1x1x2⇒x1+10,x2+10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0⇒f(x1)f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(2)=2×2+12+1=53,最大值f(4)=2×4+14+1=95.1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性求出最大(小)值.2.函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.提醒:(1)求最值勿忘求定义域.(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意.2.求函数f(x)=x+4x在[1,4]上的最值.[解]设1≤x1x22,则f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=x1-x2+4(x2-x1)x1x2=(x1-x2)·1-4x1x2=(x1-x2)x1x2-4x1x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2.∵1≤x1x22,∴x1-x20,x1x2-40,x1x20,∴f(x1)f(x2),∴f(x)在[1,2)上是减函数.同理f(x)在[2,4]上是增函数.∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5.函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式;(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?[解](1)当0x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x20时,y=260-100-x=160-x.故y=-x2+32x-100,0x≤20,160-x,x20(x∈N*).(2)当0x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16时,ymax=156.而当x20时,160-x140,故x=16时取得最大年利润,最大年利润为156万元.即当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.解实际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元?最大利润为多少?[解]设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个,销量为500-10(x-50)=(1000-10x)个,则y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000≤9000.故当x=70时,ymax=9000.即售价为70元时,利润最大值为9000元.二次函数的最值问题[探究问题]1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的对称轴与区间[m,n]可能存在几种位置关系,试画草图给予说明?提示:2.求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值,应考虑哪些因素?提示:若求二次函数f(x)在[m,n]上的最值,应考虑其开口方向及对称轴x=-b2a与区间[m,n]的关系.【例4】已知函数f(x)=x2-ax+1,求f(x)在[0,1]上的最大值.思路点拨:f(x)=x2-ax+1――――→分类讨论分析x=a2与[0,1]的关系――――→数形结合求f(x)的最大值[解]因为函数f(x)=x2-ax+1的图象开口向上,其对称轴为x=a2,当a2≤12,即a≤1时,f(x)的最大值为f(1)=2-a;当a212,即a1时,f(x)的最大值为f(0)=1.1.在题设条件不变的情况下,求f(x)在[0,1]上的最小值.[解](1)当a2≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)min=f(0)=1.(2)当a2≥1,即a≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=2-a.(3)当0a21,即0a2时,f(x)在0,a2上单调递减,在a2,1上单调递增,故f(x)min=fa2=1-a24.2.在本例条件不变的情况下,若a=1,求f(x)在[t,t+1](t∈R)上的最小值.[解]当a=1时,f(x)=x2-x+1,其图象的对称轴为x=12,①当t≥12时,f(x)在其上是增函数,∴f(x)min=f(t)=t2-t+1;②当t+1≤12,即t≤-12时,f(x)在其上是减函数,∴f(x)min=f(t+1)=t+122+34=t2+t+1;③当t12t+1,即-12t12时,函数f(x)在t,12上单调递减,在12,t+1上单调递增,所以f(x)min=f12=34.1.函数的最大(小)值,包含两层意义:一是存在,二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的,反映在函数图象上,函数的图象有最高点或最低点.2.求函数的最值与求函数的值域类似,常用的方法是:(1)图象法,即画出函数的图象,根据图象的最高点或最低点写出最值;(2)单调性法,一般需要先确定函数的单调性,然后根据单调性的意义求出最值;(3)对于二次函数还可以用配方法研究,同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题.3.通过函数最值的学习,渗透数形结合思想,树立以形识数的解题意识.当堂达标固双基1.思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值.()(2)函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).()(3)函数的最大值一定比最小值大.()[答案](1)×(2)×(3)√2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为()A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,+∞)D.[-1,3]D[∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.]3.函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a=______.1[若a0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上是减函数,并且在区间的左端点处取得最大值,即a+1=4,解得a=3,不满足a0,舍去;若a0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上是增函数,并且在区间的右端点处取得最大值,即3a+1=4,解得a=1.综上,a=1.]4.已知函数f(x)=2x-1(x∈[2,6]).(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数的最大值和最小值.[解](1)函数f(x)在x∈[2,6]上是减函数.证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2[(x2-1)-(x1-1)](x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).由2≤x1x2≤6,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,于是f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=2x-1是区间[2,6]上的减函数.(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值,即在x=2时取得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,最小值是25.