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第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系学习目标核心素养1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.自主预习探新知1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用的表示集合．内部封闭曲线2．子集、真子集、集合相等的相关概念都是A=BA⊆BB⊇A思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集(1)定义：不含元素的集合叫做空集，记为．(2)规定：是任何集合的子集．思考2：{0}与相同吗？[提示]不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠.空集任何4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC.(3)若A⊆B，A≠B，则AB.1．设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是()A．N∈MB．NMC．N⊇MD．N⊆MD[∵1∈{1，2，3}，∴1∈M，又2N，∴N⊆M.]2．下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x8，且x5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x4}B[满足x8且x5的实数不存在，故{x|x8，且x5}＝.]3．集合{0，1}的子集有________个．4[集合{0，1}的子集有，{0}，{1}，{0，1}，共4个．]4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.(1)＝(2)(3)(4)∈[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.]合作探究提素养集合间关系的判断【例1】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x5}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素；如－2∈B，但－2A，故AB.判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系．1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]子集、真子集的个数问题【例2】已知集合M满足：{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}．故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．1．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．[解]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．∴A的子集有，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．A的真子集有，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}．由集合间的关系求参数[探究问题]集合A＝{x|1xb}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．提示：不一定．当b≤1时，A＝，其不含有任何元素，当b1时，集合A中的元素用数轴可表示为：【例3】已知集合A＝{|x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．思路点拨：B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}――――――→分B＝和B≠结合数轴列不等式组―→求m的取值范围[解](1)当B＝时，由m＋12m－1，得m2.(2)当B≠时，如图所示．∴m＋1≥－2，2m－15，2m－1≥m＋1或m＋1－2，2m－1≤5，2m－1≥m＋1，解这两个不等式组，得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是m≤3.1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2x5}”，其他条件不变，求m的取值范围．[解](1)当B＝时，由m＋12m－1，得m2.(2)当B≠时，如图所示∴m＋1－2，2m－15，m＋1≤2m－1，解得m－3，m3，m≥2，即2≤m3，综上可得，m的取值范围是m3.2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．[解]当A⊆B时，如图所示，此时B≠.∴2m－1m＋1，m＋1≤－2，2m－1≥5，即m2，m≤－3，m≥3，∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．1．A⊆B隐含着A＝B和AB两种关系．2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．当堂达标固双基1.思考辨析(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.()(4)空集是任何集合的真子集．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．集合A＝{x|0≤x3，x∈N}的真子集的个数是()A．16B．8C．7D．4C[易知集合A＝{0，1，2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]3．已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________．4[由B⊆A可知，m＝4.]4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若AB，求a的取值范围．(2)若B⊆A，求a的取值范围．[解](1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.