2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）章末总结归纳课件 新人教B版必修4

第一章基本初等函数(Ⅱ)章末总结归纳三角函数的概念专题1有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ的值．【解】因为r＝x2＋9，cosθ＝xr，所以1010x＝xr＝xx2＋9.又x≠0，所以x＝±1.又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.求函数y＝－sinx＋tanx－1的定义域．【解】由题意得－sinx≥0，tanx－1≥0，⇒2kπ＋π≤x≤2kπ＋2πk∈Z，kπ＋π4≤x＜kπ＋π2k∈Z，∴2kπ＋5π4≤x＜2kπ＋3π2(k∈Z)．即定义域为2kπ＋5π4，2kπ＋3π2(k∈Z).同角三角函数的基本关系式和诱导公式专题21.诱导公式属异角三角函数间的基本关系式，它与同角三角函数的基本关系式协同作战，能力无穷，近几年的高考命题中，主要考查利用公式进行恒等变形的技能以及基本运算能力，特别突出对推理、计算的考查．2．此类问题在解决具体问题时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及函数与方程思想．已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－47π4，求f(α)的值．【解】(1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－32.(3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f－47π4＝cos－47π4·sin－47π4＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.三角函数的值域与最值问题专题3三角函数的值域与最值问题通常采用的方法有代换法、反函数法、利用函数的有界性、二次函数区间上的最值、转化与划归的思想方法等．已知|x|≤π4，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值．【解】y＝f(x)＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1.令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴－22≤sinx≤22.则y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54－22≤t≤22.∴当t＝－22时，即x＝－π4时，f(x)有最小值，且最小值为－－22－122＋54＝1－22.(1)求函数y＝1－2sinx＋π6的最大值与最小值及相应x的值．(2)已知函数y＝acos2x＋π3＋3，x∈0，π2的最大值为4，求实数a的值．【解】(1)当sinx＋π6＝－1，即x＋π6＝－π2＋2kπ，k∈Z，∴当x＝－2π3＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1＋2＝3.当sinx＋π6＝1，即x＋π6＝π2＋2kπ，k∈Z，∴当x＝π3＋2kπ，k∈Z，y取得最小值1－2＝－1.(2)∵x∈0，π2，∴2x＋π3∈π3，4π3，∴－1≤cos2x＋π3≤12.当a＞0，cos2x＋π3＝12时，y取得最大值12a＋3，∴12a＋3＝4，∴a＝2.当a＜0，cos2x＋π3＝－1时，y取得最大值－a＋3，∴－a＋3＝4，∴a＝－1，综上可知，实数a的值为2或－1.三角函数的图象和性质专题4高考中对三角函数图象的考查，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定上，而三角函数的性质往往与三角知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋kA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？【解】(1)由图象知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数的解析式为y＝12sin2x＋π6－1.(2)把y＝sinx的图象向左平移π6个单位，得到y＝sinx＋π6的图象，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin2x＋π6的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y＝12sin2x＋π6的图象．最后把函数y＝12sin2x＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin2x＋π6－1的图象．1．sin150°的值等于()A.12B.32C．－12D.－32答案：A2．已知函数f(x)＝cos2x＋π4(x∈R)，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度解析：f(x)＝cos2x＋π4＝cos2x＋π8，故将f(x)的图象向右平移π8个单位，得到g(x)的图象，故选D.答案：D3．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．cbaB.bcaC．abcD.cab解析：b＝cos55°＝sin35°，∴sin33°sin35°tan35°，故选A.答案：A4．若α∈(0,2π)，则符合不等式sinαcosα的α的取值范围是()A.π4，5π4B.π2，πC.π4，π2D.π4，π2∪π，3π4解析：利用y＝sinx与y＝cosx的图象可知sinαcosα的α的取值范围为π4，5π4，故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝1＋2sin2x－π3，x∈π4，π2.(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈π4，π2上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)∵x∈π4，π2，∴π6≤2x－π3≤2π3.∴2≤1＋2sin2x－π3≤3.∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.(2)∵|f(x)－m|＜2，即－2＜f(x)－m＜2，即f(x)－2＜m＜f(x)＋2，要在x∈π4，π2上恒成立，∴m＞f(x)max－2，且m＜f(x)min＋2.∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．