2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.1 三角函数的定义课件 新人教B版

第一章基本初等函数（Ⅱ）1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义学习目标核心素养1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义．(重点)2．会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号．(难点)1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养．2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养.自主预习探新知1．任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义定义域名称sinαyr正弦cosα____余弦RRxr1．任意角的三角函数tanαyx___________________正切secαrx_____________________正割cscα_______________________余割cotαxy_________________余切αα≠kπ＋π2，k∈Zαα≠kπ＋π2，k∈Z{α|α≠kπ，k∈Z}{α|α≠kπ，k∈Z}ry2.三角函数在各象限的符号思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？[提示]对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．1．已知角α终边经过P32，12，则cosα等于()A.12B.32C.33D．±12B[由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cosα＝32.]2．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是()A．sinα与cosαB．tanα与cotαC．tanα与secαD．cotα与cscαC[由三角函数的定义及其定义域可知，对tanα与secα中角α的取值范围为αα≠kπ＋π2，k∈Z，故选C.]3．若角α的终边上有一点P(3,4)，则sinα＋cosα＝________.75[由三角函数定义知，sinα＝45，cosα＝35，∴sinα＋cosα＝75.]4．已知cosθ·tanθ0，那么角θ是________象限角．第三或第四[∵cosθ·tanθ0，∴cosθ，tanθ异号．故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．]合作探究提素养任意角三角函数的定义及应用【例1】(1)若sinα＝35，cosα＝－45，则在角α终边上的点有()A．(－4,3)B．(3，－4)C．(4，－3)D．(－3,4)(2)若α＝－π3，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(3)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sinα＋cosα＝________.[思路探究](1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．(3)分α＞0，α＜0两种情况分别求解．(1)A(2)－3212－3(3)1或－1[(1)由sinα，cosα的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于点P12，－32，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.(3)因为r＝－3a2＋4a2＝5|a|，①若a0，则r＝5a，角α在第二象限．sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35，所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.]由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：1已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；②在α的终边上任选一点Px，y，P到原点的距离为rr0，则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.2当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.1．设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值．[解]由点P的坐标为12，32和三角函数定义得sinθ＝32，cosθ＝12，所以f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×32＋12＝2.三角函数符号的判断【例2】判断下列各式的符号．(1)sin2015°cos2016°tan2017°；(2)tan191°－cos191°；(3)sin2cos3tan4.[思路探究]先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．[解](1)∵2015°＝5×360°＋215°，2016°＝5×360°＋216°，2017°＝5×360°＋217°，∴它们都是第三象限角，∴sin2015°0，cos2016°0，tan2017°0，∴sin2015°cos2016°tan2017°0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan191°0，cos191°0，∴tan191°－cos191°0.(3)∵π22π，π23π，π43π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，∴sin20，cos30，tan40，∴sin2cos3tan40.由三角函数的定义知sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yxr＞0，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点Px，y的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.2．判断下列式子的符号：sin320°·cos385°·tan155°·tan(－480°)．[解]270°320°360°，360°385°450°，90°155°180°，－540°－480°－360°，则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第四象限角，所以sin320°0，cos385°0，tan155°0，tan(－480°)0.所以sin320°·cos385°·tan155°·tan(－480°)0，即符号为负.三角函数的定义域[探究问题]1．正切函数tanα的定义域为何不是R?[提示]根据正切函数的定义tanα＝yx，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋π2(k∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为αα≠kπ＋π2，k∈Z.2．怎样解决与三角函数有关的定义域问题？[提示]解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.【例3】求下列函数的定义域：(1)y＝sinx＋cosxtanx；(2)y＝－cosx＋sinx.[思路探究](1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．[解](1)要使函数有意义，需tanx≠0，所以x≠kπ＋π2，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠kπ2，k∈Z.于是函数的定义域是xx∈R且x≠kπ2，k∈Z.(2)要使函数有意义，需－cosx≥0，sinx≥0，得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋3π2，k∈Z，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，解得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z.所以函数的定义域是x2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z.函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示.3．求函数y＝16－x2＋sinx的定义域．[解]由题意知16－x2≥0，sinx≥0，由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4,4]．sinx≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.结合数轴知函数定义域为[－4，－π]∪[0，π]．当堂达标固双基1．已知P(1，－5)是α终边上一点，则sinα＝()A．1B．－5C．－52626D．2626C[∵x＝1，y＝－5，∴r＝26，∴sinα＝yr＝－52626.]2．sin1·cos2·tan3的值是()A．正数B．负数C．0D．不存在A[∵01π2，π22π，π23π，∴sin10，cos20，tan30，∴sin1·cos2·tan30.]3．如果sinx＝|sinx|，那么角x的取值集合是________．x2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z[∵sinx＝|sinx|，∴sinx≥0，∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]4．已知角α的终边过点P(5，a)，且tanα＝－125，求sinα＋cosα的值．[解]根据三角函数的定义，tanα＝a5＝－125，∴a＝－12，∴P(5，－12)，r＝13，∴sinα＝－1213，cosα＝513，从而sinα＋cosα＝－713.