2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第二课时正切函数的图象与性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．能借助单位圆中的正切线画出y＝tanx的图象．2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用.函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域__________________________xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z值域____周期____奇偶性_______单调性在_______________________内都是Rπ奇函数－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)增函数1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数．()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．()(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.()(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tanx.()解析：(1)错误．如x1＝π4，x2＝2π3，但tanπ4tan2π3.(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期π2.(4)错误．当x＝π2＋kπ(k∈Z)时，tanx没有意义，此时式子tan(－x)＝－tanx不成立．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点π12，0，则φ可以是()A．－π6B.π6C．－π12D.π12解析：∵y＝tan(2x＋φ)过π12，0.∴tanπ6＋φ＝0，∴π6＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，当k＝0时，φ＝－π6，故选A.答案：A3．函数y＝tan3x－π4的最小正周期为________．答案：π3典例精析规律总结课堂互动探究求函数的定义域类型1函数f(x)＝tanx－1＋4－x2的定义域为________．【解析】由题可得tanx－1≥0，4－x2≥0.∴kπ＋π4≤xkπ＋π2，k∈Z，－2≤x≤2，∴－2≤x－π2或π4≤xπ2，∴f(x)的定义域为－2，－π2∪π4，π2.【答案】－2，－π2∪π4，π2【知识点拨】求定义域时，一定要注意正切函数自身的定义域．另外，这类问题都是由构造三角不等式来确定自变量的范围．解三角不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．求下列函数的定义域．(1)y＝tan2x－π6；(2)y＝tanx2sinx－2.解：(1)要使y＝tan2x－π6有意义，则2x－π6≠kπ＋π2，∴x≠kπ2＋π3(k∈Z)，∴函数y＝tan2x－π6的定义域为xx≠kπ2＋π3，k∈Z.(2)要使y＝tanx2sinx－2有意义，则x≠kπ＋π2k∈Z，2sinx－20⇔2kπ＋π4x2kπ＋3π4k∈Z，∴2kπ＋π4x2kπ＋π2或2kπ＋π2x2kπ＋3π4(k∈Z)，∴函数的定义域为2kπ＋π4，2kπ＋π2∪2kπ＋π2，2kπ＋3π4(k∈Z)．函数的性质类型2求函数y＝tan12x－π6的定义域、周期及单调区间．【解】由12x－π6≠kπ＋π2(k∈Z)，得定义域为xx≠2kπ＋4π3，k∈Z.∴函数y＝tan12x－π6的定义域为xx∈R，且x≠2kπ＋4π3，k∈Z；T＝π|ω|＝π12＝2π；由kπ－π212x－π6kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－2π3x2kπ＋4π3，k∈Z.∴函数y＝tan12x－π6的单调递增区间为2kπ－2π3，2kπ＋4π3，k∈Z.【知识点拨】1.正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意．2．正切函数的图象的对称中心为kπ2，0(k∈Z)，而不是(kπ，0)(k∈Z)，它没有对称轴．3．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.函数f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为()A.kπ－π2，kπ＋π2，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.kπ－3π4，kπ＋π4，k∈ZD.kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z解析：由kπ－π2x＋π4kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π4xkπ＋π4，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ－3π4，kπ＋π4，k∈Z，故选C.答案：C正切函数的图象类型3函数y＝Atan(ωx＋φ)(0φπ)的图象与x轴相交的两邻点坐标分别为－π2，0，π6，0，且过点(0，－3)，求此函数的表达式．【解】由题意知函数的周期为T＝π6－－π2＝23π，所以ω＝πT＝32，故y＝Atan32x＋φ.又函数图象过点π6，0，则有32×π6＋φ＝kπ，k∈Z，故φ＝kπ－π4，k∈Z.故φ＝34π.又图象过点(0，－3)，则有－3＝Atan32×0＋34π，得A＝3.故函数的表达式为y＝3tan32x＋34π.将函数y＝tan2x的图象上所有的点向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得函数的图象()A．关于点π16，0中心对称B．关于直线x＝7π4对称C．关于点π8，0中心对称D．关于直线x＝3π4对称解析：y＝tan2x的图象上所有的点向右平移π8个单位长度，得y＝tan2x－π8＝tan2x－π4，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得y＝tan4x－π4，由4x－π4＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ8＋π16，k∈Z，当k＝0时，函数的一个对称中心为π16，0.故选A.答案：A即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一正切函数的图象1．函数y＝sinx与y＝tanx在区间－3π2，3π2上的交点个数是()A．3B.4C．5D.6解析：如图，函数y＝sinx与y＝tanx在区间－3π2，3π2上的交点个数是3.答案：A知识点二正切函数的性质2．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是()①在0，π2上单调递减；②最小正周期为2π；③是奇函数．A．y＝－sinxB.y＝cosxC．y＝tanxD.y＝sin2x解析：y＝cosx为偶函数，y＝tanx在0，π2为增函数，y＝sin2x的最小正周期为π，故A正确．答案：A3．若f(x)＝tanx＋π4，则()A．f(－1)f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(－1)C．f(1)f(0)f(－1)D.f(1)f(－1)f(0)解析：f(－1)＝tanπ4－1，f(0)＝tanπ4，f(1)＝tanπ4＋1＝tan1－3π4，－π21－3π4π4－1π4，∴tan1－3π4tanπ4－1tanπ4，∴f(1)f(－1)f(0)．故选D.答案：D4．下列关于函数y＝tanx＋π3的说法正确的是()A．在区间－π6，5π6上单调递增B．最小正周期为πC．图象关于点π4，0成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称解析：由kπ－π2x＋π3π2＋kπ，k∈Z，得kπ－5π6xπ6＋kπ，k∈Z，∴函数在－π6，5π6上不单调，A错；函数的周期为π，B正确，故选B.答案：B知识点三值域问题5．求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈π4，π3的值域．解：由x∈π4，π3，得tanx∈[1，3]，∴y＝－tan2x＋10tanx－1＝－(tanx－5)2＋24.由于1≤tanx≤3，∴8≤y≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．