2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时余弦函数的图象与性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．会用“五点法”作余弦函数的图象．2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.1．余弦函数y＝cosx(x∈R)的简图中，五个关键点是__________________________________________．(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)2．余弦函数y＝cosx的性质函数y＝cosx定义域____值域________奇偶性________周期性以为周期(k∈Z，k≠0)，为最小正周期R[－1,1]偶函数2kπ2π单调性当x∈时，递增；当x∈时，递减最大值与最小值当x＝(k∈Z)时，最大值为_；当x＝(k∈Z)时，最小值为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)2kπ12kπ＋π－11．下列函数中，周期为π，又是偶函数的是()A．y＝sinxB.y＝cosxC．y＝cos2xD.y＝sin2x答案：C2．函数y＝2cos－4x＋π2的最小正周期是()A.π2B.π4C．2πD.π解析：T＝2π4＝π2，故选A.答案：A3．函数y＝cosx－π4的单调增区间为________．解析：由－π＋2kπ≤x－π4≤2kπ，k∈Z，得－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ∴y＝cosx－π4的单调增区间为－3π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z.答案：－3π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z典例精析规律总结课堂互动探究余弦函数的值域类型1(1)函数y＝54－sin2x－3cosx的最小值是()A．－74B.－2C.14D.－54(2)函数y＝2cos2x－π3，x∈0，π2的值域是________．【解析】(1)y＝54－1＋cos2x－3cosx＝cos2x－3cosx＋14＝cosx－322－2.∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，ymin＝－74.故选A.(2)∵x∈0，π2，∴2x－π3∈－π3，2π3，∴cos2x－π3∈－12，1，∴y∈[－1,2]．【答案】(1)A(2)[－1,2]设M和m分别表示函数y＝13cosx－1的最大值和最小值，则M＋m的值为()A.23B.－23C．－43D.－2解析：由题可知M＝13－1＝－23，m＝－13－1＝－43，∴M＋m＝－23－43＝－2，故选D.答案：D函数y＝2cos2x－π3＋1在区间－π4，π4上的值域为()A．[1－3，1＋3]B.[1－3，3]C．[－1,3]D.[－1,1＋3]解析：由－π4≤x≤π4，∴－5π6≤2x－π3≤π6，∴－32≤cos2x－π3≤1，∴1－3≤y≤3，∴函数y＝2cos2x－π3＋1的值域为[1－3，3]．故选B.答案：B余弦函数的性质类型2(1)已知函数f(x)＝2cosωx＋π4＋1(ω0)在0，π8上是减函数，则ω的最大值为()A．12B.8C．10D.6【解析】由2kπ≤ωx＋π4≤2kπ＋π，k∈Z，∴2kπ－π4≤ωx≤2kπ＋3π4，∴2kπω－π4ω≤x≤2kπω＋3π4ω，k∈Z，若f(x)在0，π8上是减函数，则3π4ω≥π8，∴ω≤6，故ω的最大值为6.【答案】D(2)求函数y＝cos2x＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．【解】设t＝2x＋π4，则函数y＝cost的图象如图所示．令t＝kπ(k∈Z)，则2x＋π4＝kπ(k∈Z)．∴x＝kπ2－π8(k∈Z)，即为所求对称轴方程．令t＝kπ＋π2(k∈Z)，则2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)．∴x＝k2π＋π8(k∈Z)．∴k2π＋π8，0(k∈Z)，即为所求对称中心．当t∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，2x＋π4∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，∴x∈kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．∴其单调递减区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．∵T＝2π2＝π，∴最小正周期为T＝π.【知识点拨】余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质(1)定义域：R；(2)值域：[－A，A]；(3)单调性：若y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)，则利用整体代换的思想把ωx＋φ看作一个整体，对应于y＝cosx的单调区间解出即可；若y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)，原来的减区间与增区间正好相反；若y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)，先将式子化为y＝－Acos(－ωx＋π－φ)的形式再求解；(4)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；(5)周期：最小正周期为T＝2π|ω|；(6)对称轴：由ωx＋φ＝kπ，得到对称轴方程为x＝kπ－φω(k∈Z)；(7)对称中心：由ωx＋φ＝kπ＋π2，得对称中心为kπ＋π2－φω，0(k∈Z)．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B.y＝cos2x＋π2C．y＝－sin|x|D.y＝cos|x|解析：y＝sin2x＋π2的周期为π，在π4，π2上是减函数，y＝cos2x＋π2的周期为π，在π4，π2上是增函数；y＝－sin|x|不是周期函数；y＝cos|x|的周期为2π，故选A.答案：Ay＝Acos(ωx＋φ)的图象及图象变换类型3(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f(0)等于()A．－23B.23C．－12D.12(2)要得到函数y＝cos(x＋2)的图象，只要将函数y＝cosx的图象()A．向左平移2个单位B.向右平移2个单位C．向左平移23个单位D.向右平移23个单位【解析】(1)由图象可知，T＝11π12－7π12×2＝2π3，f(0)＝f2π3，又π2与2π3关于7π12对称，∴f2π3＝－fπ2＝23.(2)y＝cos(x＋2)的图象只需将y＝cosx的图象向左平移2个单位，故选A.【答案】(1)B(2)A已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，则()A．ω＝1，φ＝2π3B．ω＝1，φ＝－2π3C．ω＝2，φ＝2π3D．ω＝2，φ＝－2π3解析：由题图可知，14T＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，又T＝2πω，∴ω＝2，又f(x)的图象过点π3，1，∴cos2×π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝2kπ，令k＝0，得φ＝－23π.答案：D即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一余弦函数的性质1．y＝－2cos(4x＋1)的最小正周期为()A.π4B.πC.π2D.4π解析：T＝2π4＝π2，故选C.答案：C2．将函数f(x)＝2cos2x的图象向右平移π6个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间0，a6和2a，7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：由题可知g(x)＝2cos2x－π3，由2kπ－π≤2x－π3≤2kπ，k∈Z，得：kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.则0，a6，2a，7π6均为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z的子集．当k＝0时，－π3，π6⊇0，a6，∴a6≤π6，∴a≤π；当k＝1时，2π3，7π6⊇2a，7π6，∴2a≥2π3，∴a≥π3.∴π3≤a≤π.答案：π3，π知识点二余弦函数的值域3．函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域为()A．[－2,6]B.[－3,6]C．[－2,4]D.[－3,8]答案：B4．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：因为f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，所以fπ4取最大值，所以π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋23(k∈Z)，因为ω0，所以当k＝0时，ω取最小值为23.答案：23知识点三余弦函数的图象5．函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是________．答案：2π