2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.1 正弦函数的图象与性质（二）课

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质(二)|学习目标|1．掌握正弦函数的性质、单调性、奇偶性、周期性；2．能利用正弦函数的性质，解决一些简单的问题．基础知识点对点课后拔高提能练基础知识点对点知识点一正弦函数的周期性1．若函数f(x)＝2sinax＋π4(a0)的最小正周期为1，且g(x)＝sinax，x0，gx－1，x≥0，则g56等于()A．－12B．12C．－32D．32解析：选C由题可知2πa＝1，∴a＝2π，g56＝g56－1＝g－16＝sin－2π6＝sin－π3＝－32，故选C．2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝()A．0B．2.5C．－12D．3.5解析：选B由f(x＋2)＝－1fx，得f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．f(105.5)＝f(26×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－1.5)＝f(2.5)＝2.5，故选B．知识点二正弦函数的单调性3．(2018·天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间3π4，5π4上单调递增B．在区间3π4，π上单调递减C．在区间5π4，3π2上单调递增D．在区间3π2，2π上单调递减解析：选A由函数图象平移变换的性质可知，将y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x.则函数的单调递增区间满足：2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)，令k＝1可得一个单调递增区间为3π4，5π4.函数的单调递减区间满足：2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)，令k＝1可得一个单调递减区间为5π4，7π4.故选A．4．函数y＝sinπ3－12x，x∈[－2π，2π]的单调递增区间为________．解析：y＝sinπ3－12x＝－sin12x－π3，由π2＋2kπ≤12x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得5π3＋4kπ≤x≤11π3＋4kπ，k∈Z，∴y＝sinπ3－12x的递增区间为5π3＋4kπ，11π3＋4kπ，k∈Z，由5π3＋4kπ，11π3＋4kπ∩[－2π，2π]为－2π，－π3，5π3，2π.答案：－2π，－π3，5π3，2π知识点三正弦函数的奇偶性和对称性5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的最小正周期为π，且图象关于直线x＝2π3对称，则它的一个对称中心的坐标是()A．－π12，0B．π12，0C．－π6，0D．π6，0解析：选A由题可知2πω＝π，∴ω＝2，2×2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ－5π6(k∈Z)，∵－π2φπ2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin2x＋π6，令2x＋π6＝kπ，∴x＝kπ2－π12(k∈Z)，∴函数的对称中心为kπ2－π12，0(k∈Z)．∴－π12，0是它的一个对称中心的坐标，故选A．6．关于函数f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)，有下列命题：①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos2x－π6；②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y＝f(x)的图象关于点－π6，0对称；④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．其中正确的是________．解析：f(x)＝4cos2x－π6＝4sin2x－π6＋π2＝4sin2x＋π3，故①正确；f(x)的最小正周期为π，②错；当x＝－π6时，f－π6＝4sin－π6×2＋π3＝0，∴f(x)关于－π6，0对称，③正确，④错．答案：①③